Probabilidad condicional (urnas y bolas)

Question

De una urna que contiene 6 de blancos y 12 bolas negras, una toma bolas al azar, uno por uno, hasta que la segunda bola blanca aparece. ¿Cuál es la probabilidad de que: 1) la segunda bola blanca aparece en el segundo paso 2) la segunda bola blanca aparece en el tercer paso 3) la segunda bola blanca aparece en el k-ésimo paso

Mi solución es la siguiente. La probabilidad de que la segunda bola blanca es $$Pr(X=2)=\frac{6}{18}\frac{5}{17}$$

La probabilidad de que la tercera bola blanca es $$Pr(X=3)=\frac{6}{18}\frac{12}{17}\frac{5}{16}+ \frac{12}{18}\frac{6}{17}\frac{5}{16} = \frac{2⋅6⋅5⋅12}{18⋅17⋅16} $$

Por lo tanto, la probabilidad de $$Pr(X=k)=\frac{(k-1)⋅6⋅5⋅(18-k)!⋅12!}{18!⋅(12-k+2)!}$$

Podría alguien, por favor, compruebe mi solución, especialmente la tercera parte. Gracias.

Answer 1

He utilizado la distribución hipergeométrica para la $(k-1)$-th dibujar.

La probabilidad de extraer una bola blanca y $k-2$ bolas negras en $k-1$ dibujos es

$$\frac{\binom{6}{1}\cdot \binom{12}{k-2}}{\binom{18}{k-1}}=\frac{6\cdot 12!\cdot (k-1)!\cdot (19-k)!}{18!\cdot (k-2)!\cdot (14-k)!}=\frac{6\cdot 12!\cdot (k-1)\cdot (19-k)!}{18!\cdot (14-k)!}$$

En la k-ésima dibujar tenemos que elegir una bola blanca. La probabilidad es $\frac{5}{19-k}$. En total puedo conseguir

$$P(X=k)=\frac{5\cdot 6\cdot 12!\cdot (k-1)\cdot (18-k)!}{18!\cdot (14-k)!}$$

Este es el mismo resultado que obtuvo.