No en general, sí para el caso que le interesa.
Para la parte "no": En el caso general, falta un supuesto que dé un "enlace" entre la topología de $G$ y la acción; he aquí un ejemplo de dicha acción discontinua:
Dejemos que $G=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\sqrt{2}\oplus \mathbb{Z}\sqrt{3}$ , $\Gamma=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\sqrt{2}$ . Dotamos $G$ con la topología inducida de $\mathbb{R}$ . En este caso, $\Gamma$ es un subgrupo denso. Consideremos ahora una acción ergódica de $G/\Gamma\simeq \mathbb{Z}\sqrt{3}$ en un espacio de medidas (por ejemplo, una rotación irracional en el círculo). Esto da una acción de $G$ que es ergódica, pero la acción de $\Gamma$ es trivial.
Para la parte "sí": la acción de $G$ en $X$ induce una representación unitaria en $L^2(X,\mu)$ (la representación de Koopman) $$\pi:G\to \mathcal{U}(L^2(X)),$$ $$\pi(f)(x)=f(g^{-1}x).$$ Una propiedad útil que puede (o no) tener esta representación es ser fuertemente continua, es decir $$g_n\to g\implies \forall f \in L^2(X), \;\| \pi(g_n)f-\pi(g)f\|\to 0.$$ La relevancia de esta propiedad para la ergodicidad del subgrupo denso es que en este caso, el estabilizador de una función característica $f=1_A$ $$Stab(f)=\{ g \in G \, : \, \pi(g)f=f \},$$ es entonces un subgrupo cerrado; por lo que si un conjunto $A$ es $\Gamma$ -invariante, $f=1_A$ es $\Gamma$ -invariante, por lo que también es $\bar{\Gamma}=G$ -invariante, por lo que $\mu(A)\in \{0,1\}$ .
En el caso que le interesa, esta propiedad de continuidad fuerte se satisface; véase, por ejemplo, el lema 1.6 en esas notas http://u.math.biu.ac.il/~solomyb/TEACH/17/GrAct/Lec7.pdf para una declaración con condiciones suficientes y un esbozo de prueba.
