Rompecabezas de matriz de 5x5 dígitos

Question

Es posible construir una matriz de 5x5 de dígitos decimales, de tal manera que cada uno de los números 0-99 están presentes como individuo o dedos adyacentes. Adyacente puede significar horizontal, vertical o diagonal invertida y en los tres casos. Por ejemplo, la matriz a continuación contiene los 18 años como la parte superior izquierda de los dígitos son 1 y 8, y de los 60 es la diagonal en la parte inferior izquierda.

\begin{array}{ccc} 1&8&7&9&4\\ 5&1&8&3&5\\ 3&0&6&2&5\\ 9&9&2&6&7\\ 3&1&4&4&0 \end{array}

La anterior matriz no es una solución, ya que 33,48,77 y 84 faltan. Yo estaría interesado en ver el éxito de una solución, o una prueba de que no existe ninguno.

Answer 1

No sé si es posible, pero es muy restrictiva.

Hay $72$ pares adyacentes de números en la cuadrícula ($20$ horizontal $20$ verticales, $16$ en cada dirección diagonal).

Queremos que cada número de dos dígitos a ocurrir. Eso significa que vamos a tener $10*9/2=45$ pares de distintos dígitos, además de un mayor $9$ parejas con idéntico dígitos (estamos excluyendo $00$). Así que nuestro uso de números de hasta $45+9=54$ pares adyacentes en la red.

Considere la posibilidad de cualquier par adyacente de idéntica dígitos. Si hay una celda adyacente a ambos, luego de perder una de las redes de pares, ya que tendrá un duplicado de 2 dígitos para el número de emparejamiento. Donde esté un idéntico par de dígitos, siempre habrá al menos dos células vecinas adyacentes a los dos dígitos. Si se coloca de forma horizontal o vertical y no en el borde exterior de la red, incluso se llega a cuatro. En cualquier caso, todos idénticos par de desechos dos de la cuadrícula de emparejamientos, por lo $9*2=18$ emparejamientos se desperdicia en esta manera.

Desde $54+18=72$, usted no puede perder más de la cuadrícula de emparejamientos. En particular, usted no puede poner idénticos dígitos horizontalmente o verticalmente adyacentes, a menos que ambos están en el borde de la rejilla. En tu ejemplo, los dos adyacentes horizontalmente $9$s mostrar que no puede ser una solución.

Editar:
@TodorMarkov se señaló en los comentarios de que es posible organizar dos pares idénticos en diagonal para que se cruzan entre sí. Se usa hasta $6$ cuadrícula de emparejamientos, pero contiene tres de los números de dos dígitos. Así que esta disposición de desechos sólo $3$ cuadrícula de emparejamientos en duplicados en lugar de la $4$ que los dos pares idénticos de otra manera de residuos.