Demostrar que $f(0)>0,\; f'(0)=0,\; f''(x)<0$ implican que $f(x)=0$ tiene exactamente 1 raíz positiva.

Question

Dejemos que $f$ sea una función doblemente diferenciable en $\mathbb{R}$ . Supongamos que $f(0)>0, \; f'(0)=0$ y $\; f''(x)<0$ para todos $x>0$ . Demostrar que $f(x)=0$ tiene exactamente una raíz positiva.

Tenemos $f''(x)<0 \implies f'(x)$ es estrictamente decreciente en $(0,\infty)$ . Entonces $f'(0)=0$ Así que $f'(x)<0$ en $(0,\infty)$ . Así que $f$ tiene como máximo 1 raíz positiva.

$f'(x)<0 \implies f(x)$ es estrictamente decreciente en $(0,\infty)$ .

¿Cómo puedo aprovechar el hecho de que $f(0)>0$ para mostrar $f(x)=0$ tiene al menos 1 raíz positiva?

Answer 1

La condición $f''<0$ implica que $f'$ es estrictamente decreciente. Dado que $f'(0)=0$ , $f'(a)$ debe ser negativo para algún positivo $a$ que se acerca a cero. Pero entonces, como $f'$ es estrictamente decreciente, $f'(x)<f'(a)$ por cada $x\ge a$ . Por el teorema del valor medio, cuando $x>a$ , $f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)$ para algunos $c\in(x,a)$ . Por lo tanto, $f(x)<f(a)+f'(a)(x-a)$ siempre que $x>a$ , lo que significa que $f(x)$ es finalmente negativo cuando $x\to+\infty$ . Por lo tanto, $f(b)<0$ para algunos $b>a$ . Ahora $f(0)>0>f(b)$ . Por el teorema del valor intermedio, $f(x)=0$ tiene una raíz positiva. Como $f$ es estrictamente decreciente, esta raíz es única.

Answer 2

Una pista. Desde $f$ es estrictamente cóncavo en $(0,+\infty)$ tenemos que para $x_0,x>0$ , $$f(x)\leq f'(x_0)(x-x_0)+ f(x_0).$$ que es el gráfico de $f$ se mantiene bajo su tangente en $x_0$ . Tenga en cuenta que aquí $f'(x_0)<0$ . Tome el límite como $x\to +\infty$ . ¿Qué podemos concluir?

Answer 3

También puede mostrar esto de la siguiente manera:

• Unicidad: Supongamos que $x_1,x_2 > 0$ con $f(x_1) = f(x_2) = 0$ y $x_1 \neq x_2$ $$\Rightarrow \exists \xi > 0: f'(\xi) = 0 \mbox{ contradiction to } f' \mbox{ strictly decreasing and } f'(0) = 0.$$
• Existencia: Considere $x \geq 1$ y utilizar el MVT para las funciones continuas: $$f(x) = f(1) + \int_{1}^x f'(t)\;dt \stackrel{f'(t) \leq f'(1) <0}{\leq} f(1) + (x-1)\cdot \underbrace{f'(1)}_{<0} \color{blue}{<0} \mbox{ for } x \mbox{ large enough.}$$ Así que, $f$ cambia el signo en $[0,\infty)$ .

Answer 4

Dado que la segunda derivada $f''$ es negativo en $(0,\infty) $ la primera derivada $f' $ es estrictamente decreciente en $[0,\infty)$ . Y tenemos $f'(0)=0$ para que $f'$ es negativo en $(0,\infty)$ . Por lo tanto, se deduce que $f'(x) $ tiende a un límite negativo o diverge a $-\infty $ como $x\to\infty$ .

El hecho de que los derivados $f'$ es negativo nos lleva a la conclusión de que $f$ es estrictamente decreciente en $[0,\infty)$ y por lo tanto $f(x) $ tiende a un límite o diverge a $-\infty $ como $x\to\infty $ . Si $f(x) \to L$ entonces por el teorema del valor medio tenemos $$f(x+1)-f(x)=f'(\xi)$$ para algunos $\xi\in(x, x+1)$ . Ahora bien, como $x\to\infty$ el LHS de la ecuación anterior tiende a $L-L=0$ y el RHS se mantiene estrictamente alejado de $0$ (véase el último párrafo), lo cual es una contradicción. Así pues, $f(x) \to-\infty$ como $x\to\infty $ . Desde $f(0)>0$ se deduce por el teorema del valor intermedio que $f(x) $ se desvanece al menos una vez en $(0,\infty) $ y como $f$ es estrictamente monótona, desaparece sólo una vez. Así, $f$ tiene exactamente una raíz real positiva.