¿Cómo crear un polinomio para modelar la suma de las caras en un cubo?

Question

Estoy teniendo en cuenta estos tres problemas:

Yo creo entender a la primera pregunta, es, básicamente, me pide que encontrar la fórmula para la suma de los primeros impares $n$ cubos, ¿correcto? Básicamente, que se puede utilizar el método de diferencias finitas. Así que tengo:

$1^3+3^3 +5^3+...+(2n-1)^3$

Así que tengo la secuencia de:

$1,28,153,496,1225,2556,...$

La primera diferencia que se me da: $27, 125, 343, 729, 1331,...$

La segunda diferencia es: $98, 218, 386, 602,... $

La tercera diferencia es: $120, 168, 216,...$

La cuarta diferencia es: $48, 48,...$

La cuarta diferencia es constante, entonces el polinomio es de la forma:

$Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E=y$

Así que desde aquí puedo crear un sistema de ecuaciones y resolver, y sé cómo hacerlo.

Sé que (de google) que la respuesta es $n^2(2n^2-1)$ pero con mi método de creación de un sistema de ecuaciones y resolviendo$A,B,C,D,E$, voy a llegar a esta fórmula a la derecha?

Para la segunda y tercera preguntas estoy bastante confundido.

Para el nivel de $n=1$ tengo de que el número de caras expuestas es de 5.

$n=2, f= 20$

$n=3, f = 36$

$n=4, f = 52$

Tal vez mi notación es un poco confuso porque se basa apagado de

$1^3+3^3+...+(2n-1)^3$, $n$ sólo puede ser el de los números impares, por lo que debo usar una variable diferente, tal vez como $y$? Mi notación que me está haciendo aún más confundido.

He encontrado un patrón para encontrar el número de caras expuestas (si mi interpretación de la pregunta es correcta). Es decir, la fórmula para el número de $n$ expuestos caras es $4(2n-1)$

Ahora estoy básicamente pidió buscar una fórmula que los modelos de la suma de estos, así como el $5+20+36+52+68+...+4(2n-1) = S_n$ donde $S_n$ es la suma.

Así que hago lo mismo que mi primera pregunta y has que mi secuencia es:

$5, 20, 36, 52, 68, 84,...$

La primera diferencia es: $15, 16, 16, 16, 16, ...$

Segundo: $1, 0, 0, 0,...$

Tercero: $-1, 0, 0,...$

Cuarto: $1,0,0,0,...$

El primer término se mantiene oscilando entre los $1$ e $-1$ , y si bien esto es genial, también es realmente molesto, porque no sé por qué está pasando esto o si hice algo mal.

EDIT: me di cuenta de lo que hice mal:

Mi secuencia debe ser: $5,25,61, 113, 181, 265$

Primera diferencia: $20,36,52,68,84,...$

Segundo: $16,16,16,16,...$

Así que, de nuevo utilizando diferencias finitas, que debo tener $$8n^2-4n+1$$

Es esto correcto?

Además, para la tercera pregunta, ¿qué tendría que hacer para borrar las caras en la parte inferior de la pirámide? Esto realmente me confunde porque pensé que implícito en el supuesto de que estamos tratando con las caras expuestas, nos gustaría automáticamente el descuento de la fila inferior de la $n$th nivel, así que no quiero ni ver una diferencia en la pregunta 2 y 3.

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!

EDIT: estoy pensando en la distinción entre la pregunta 2 y 3

Así que La diferencia sería la adición de n x n = $n^2$ enfrenta a la suma de las caras expuestas. Por lo tanto debe la respuestas para las preguntas 2 y 3:

2) $9n^2-4n+1$

3) $8n^2-4n+1$

Answer 1

Es un poco mucho para comentar todo, pero

para la pregunta 1): se suma cubos (3 de poderes), pero eso no es correcto. Tenga en cuenta que el número de cubos en la segunda capa de la parte superior es $9=3^2$ni $27=3^3$ como lo escribió. Lo mismo ocurre, por supuesto, para el resto de las capas.

Para la pregunta 2), 3): en función de su respuesta para $n=1$, usted parece estar considerando la pregunta 3 (no inferior caras). Pero tengo 21 como el valor de $n=2$, y no de 20 o 25 como usted. Para obtener la fórmula general, independiente de las caras expuestas en las direcciones desde la que se pueden ver: superior, inferior (sólo para la pregunta 2), izquierda, derecha, delante, detrás. Algunos de éstos deben ser fáciles de calcular, otros pueden necesitar un paso como para la pregunta 1, pero más sencillo.

Answer 2

Es difícil saber lo que te están contando y lo que no cuenta. Tienes tres preguntas diferentes; uno puede ver cuando usted dejar de hablar de la primera y puesta en marcha de los otros dos, pero no, claramente, cuando usted está trabajando en la parte 2 y la parte 3.

El uso de la fórmula $4(2n-1)$ es confuso, debido a que en esta fórmula se decidió ignorar el significado de $n$ como se da en el enunciado del problema, donde $n$ es el número de niveles de (que puede tener valores de $1, 2, 3, 4, \ldots$). Coincidentemente, $4(2n-1)$ pasa a ser el número de caras en el $n$th nivel que están expuestos en los lados verticales, no incluyendo las caras expuestas en la parte superior o inferior de cualquier cubo. En lugar de mantenerse coherente con la notación de la declaración del problema, se decidió usar la variable $n$ a representar algo diferente, un número que sólo puede tomar valores impares. Que tengas suerte, más tarde, porque por el tiempo que usted está tratando de obtener una fórmula para el valor "real" de $n$ como se define en la declaración del problema, sólo tienes explícita enteros como $113$ que han "olvidado" su otra definición de $n.$

Un enfoque que sería menos confuso para los lectores que no están dentro de su cabeza sería introducir una nueva variable para los números impares quería representar, por ejemplo, $m.$ Eres libre de decir $m$ sólo tiene valores impares sin contradecir nada en el enunciado del problema, y usted puede escribir $4(2m-1)$ para el número de caras nuevas añadido por el último nivel, donde $m$ es el número de cubos a lo largo de un borde de ese nivel, que es siempre un número impar.

Tenga en cuenta que si usted defina $m$ esta manera, a continuación, $m = 2n - 1$ donde $n$ es el número de niveles de agregado hasta el momento.

Al final se obtuvo la secuencia correcta para la parte 3. Uno puede suponer que esto se hizo tomando las sumas parciales de la serie $5 + 20 + 36 + 36 + 52 + 68 + \cdots.$ Sería mejor si usted dijo que se estaban haciendo eso. Después de ese punto, aunque no proporcionar todos los detalles del método de diferencias finitas, a menos que usted dijo que se estaban utilizando diferencias finitas, así que sabemos lo que estaban tratando de hacer allí.

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La diferencia entre las preguntas 2 y 3, tiene que ver con el supuesto implícito de que siempre estamos tratando con una pirámide, que es finito en tamaño (aunque puede ser arbitrariamente grande, no se limita a $11$ niveles de la pirámide de la figura) y también con el supuesto implícito de que "toda la pirámide hasta el nivel $n$" es una pirámide de exactamente $n$ niveles que usted puede mirar desde todos los ángulos, de modo que su capacidad de mirar en la parte inferior de la $n$- ésimo nivel de la pirámide no está bloqueado por estar atrapado a algunos incluso mayor nivel por debajo de ella.

Para ser justos, creo que el problema sería mucho mejor redactado si lo dijo explícitamente "una pirámide de $n$ los niveles."

Si fuera realmente un problema acerca de las $n$ los niveles exactos de la pirámide que se muestra en la figura, a la que ha $11$ niveles, entonces la fórmula para el número de caras expuestas sería idéntico para las preguntas 2 y 3 cuando se $n < 11$ pero pronto iba a convertirse en mucho más grande para la pregunta 2 cuando $n = 11.$ También, las respuestas de la $n > 11$ todos numéricamente el mismo como para $n = 11$; que es, ya que hay sólo $11$ niveles, no encontramos ninguna más de sus lados por intentar contar más de $11$niveles. Este sería un muy grave problema, que es la razón por la que ni siquiera considere la posibilidad de esta interpretación al principio, pero sólo se considera la interpretación donde $n$ es el número total de niveles en una arbitraria de la pirámide.

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Como un enfoque alternativo, que creo que es más fácil (aunque no es útil como un ejercicio utilizando el método de diferencias finitas), usted podría mirar en la pirámide de las vistas ortogonales de cada una de las seis direcciones: arriba, abajo, izquierda, derecha, adelante, atrás. En cada dirección se ven expuestas las caras de los cubos--un conjunto diferente de caras en cada dirección, y todas las caras expuestas se ven en una de las direcciones, así que todo lo que tiene que hacer es encontrar el número de caras se ve desde cada dirección y se suman los seis números (o en la pregunta 3, cinco números, ya que no incluyen el número de caras en la parte inferior).

Para hacer aún más fácil, la parte superior e inferior de las vistas son idénticos grandes plazas de la longitud de la arista $2n - 1$, y los otros cuatro puntos de vista son todos los arreglos de la forma $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$ para $n$capas, que probablemente debería reconocer y saber expresar como un polinomio.

El uso de este enfoque, se puede confirmar rápidamente que la fórmula que se encuentra, $8n^2 - 4n + 1,$ es la respuesta correcta para la pregunta 3. Tenemos $(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4 + 1$ rostros visibles desde arriba, y $n^2$ caras visibles de cada uno de los otros cuatro puntos de vista (excluyendo la parte inferior de la vista).

Answer 3

Para la primera pregunta, ¿qué hay de considerar la secuencia, $U_{n}=(2n-1)^2 +U_{n-1}, \forall n\ge 1$ y tomar $U_0=0$?

Con $U_n$ representando el número de cubos encontrados en la pirámide hasta el nivel $n$

Answer 4

Sugerencia:

Por contar y la generalización de un patrón,

1. El número de cubos es $1^2+3^2+5^2+7^2+\cdots (2n-1)^2$.

2. El número de caras expuestas, inferior excluidos, es $1+4+20+36+52+\cdots 8(2n-1)-4$.

3. Hay $(2n-1)^2$ caras en la parte inferior.

Usted puede volver a escribir las condiciones generales como las funciones de $n$ e $n^2$ y el uso de la Faulhaber fórmulas.