¿Si $\vec{\nabla} \cdot \vec{V} \neq 0$ en un solo punto, esto nos impedirá decir que $\vec{V}=\vec{\nabla} \times \vec{U}$?

Question

Esta pregunta tiene una respuesta en el lenguaje de alto nivel de las matemáticas. Puede alguien explicar esto en el lenguaje del cálculo vectorial.

Parte I: consideremos sistema de coordenadas Cartesianas con origen en el $O$ y los ejes de $x,y,z$. Vamos a:

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

$$\text{y }\vec{V}=0\ (\hat{i}) +\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{1}{r} \right) (\hat{j}) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{1}{r} \right) (\hat{k})$$

Es obvio que $\dfrac{1}{r}$ es definido en todas partes excepto en el origen.

Consideremos ahora la divergencia de $\vec{V}$:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{V}=0$$

Desde $\dfrac{1}{r}$ no está definido en el origen, $\vec{\nabla} \cdot \vec{V}=0$ que es verdad en todas partes, excepto en el origen.

Desde $\vec{\nabla} \cdot \vec{V} \neq 0$ a un punto de $P (0,0,0)$, esto nos impide concluir $\vec{V}=\vec{\nabla} \times \vec{U}$ en puntos distintos de $P$? Por qué? ¿Por qué no?

Parte II: Si $\vec{\nabla} \cdot \vec{V} \neq 0$ en puntos unidimensional arbitrario de la curva en el espacio, esto nos impide concluir $\vec{V}=\vec{\nabla} \times \vec{U}$ en otros puntos, no en la curva? Por qué? ¿Por qué no?

NOTA - Para la Parte I y la Parte II:

Si (por Qué/por Qué no) está más allá del alcance de vector (multivariable) cálculo, sólo como respuesta sí/no. Sin embargo, por favor intente su mejor para explicar (por Qué/por Qué no) en el idioma del vector (multivariable) cálculo.

SEMI RESPUESTA: por Favor, señalar las limitaciones

He tropezado con una derivación en el idioma de primaria cálculo vectorial. Por favor señalar si existe alguna limitación en mi derivación. En el contexto de las matemáticas avanzadas (de Rham cohomology o de Poincaré lema), me parece que hay limitaciones.

Derivación:

Para probar: En todos los puntos donde $\vec{B}$ se define (cualquiera que sea el dominio de $\vec{B}$), si $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$, a continuación, $\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}$

Prueba:

En todos los puntos donde $\vec{B}$ se define (cualquiera que sea el dominio de $\vec{B}$): \begin{align} \vec{B} &= B_x\ (\hat{i}) + B_y\ (\hat{j}) + B_z\ (\hat{k})\\ &= B_x\ (\hat{i}) + B_y\ (\hat{j}) + \int^{(x,y,z)}_{(x,y,\infty)} \dfrac{\partial B_z}{\partial z}\ dz\ (\hat{k})\\ &= B_x\ (\hat{i}) + B_y\ (\hat{j}) - \int^{(x,y,z)}_{(x,y,\infty)} \left( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} - \dfrac{\partial B_z}{\partial z}\ \right) dz\ (\hat{k})\\ &\text{{Since %#%#%}}\\ &= B_x\ (\hat{i}) + B_y\ (\hat{j}) - \int^{(x,y,z)}_{(x,y,\infty)} \left( \dfrac{\partial B_x}{\partial x} + \dfrac{\partial B_y}{\partial y}\ \right) dz\ (\hat{k})\\ &= B_x\ (\hat{i}) + B_y\ (\hat{j})\ + \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left(- \int^{(x,y,z)}_{(x,y,\infty)}B_x\ dz \right) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int^{(x,y,z)}_{(x,y,\infty)}B_y\ dz \right) \right] (\hat{k})\\ &\text{{By changing the order of integration and differentiation}}\\ \end{align}

En todos los puntos donde $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$ se define (cualquiera que sea el dominio de $\vec{B}$), vamos a definir:

$\vec{B}$

donde $\displaystyle \vec{A}=\int^{(x,y,z)}_{(x,y,\infty)}B_y\ dz\ (\hat{i}) - \int^{(x,y,z)}_{(x,y,\infty)}B_x\ dz\ (\hat{j}) + 0\ (\hat{k}) + \vec{\nabla}f$ es una función arbitraria de $f$

Por lo tanto, en todos los puntos donde $(x,y,z)$ se define (cualquiera que sea el dominio de $\vec{B}$):

\begin{align} \vec{B} &= \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right) (\hat{i}) +\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right) (\hat{j}) +\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right) (\hat{k})\\ &= \vec{\nabla} \times \vec{A} \end{align}

Answer 1

Usted parece saber que la divergencia del campo libre $\vec V$ puede ser considerado como el curl de algún otro campo: Hay un campo de $\vec U$ tal que $\vec V={\rm curl}(\vec U)$. Esto es una consecuencia de la llamada de Poincaré Lema.

Pero hay una trampa: La de Poincaré Lema garantiza la existencia de un vector potencial de $\vec U$ sólo si el dominio de $\vec V$ es, por ejemplo, una pelota o con forma de estrella. Para el campo $\vec V$ este no es el caso. Por lo tanto, sólo podemos decir lo siguiente: Cada punto de ${\bf p}$ en el espacio perforado $\dot{\mathbb R}^3:={\mathbb R}^3\setminus\{{\bf 0}\}$ es el centro de una bola de $B_r({\bf p})\subset \dot{\mathbb R}^3$ tal que dentro de $B_r({\bf p})$ el campo $\vec V$ puede ser escrita en la forma $\vec V={\rm curl}(\vec U)$ para algunos $\vec U$ definido en $B_r({\bf p})$ solamente. Estos campos locales $\vec U$ no se determina únicamente, y no es en absoluto seguro de que si el implícita "la integración de las constantes" puede ser elegido de una manera coherente de tal manera que podamos obtener un único campo de $\vec U_*$, que luego sería definida en todos los de $\dot{\mathbb R}^3$.

Por supuesto, podría ser que "por casualidad" la $\vec V$ en su ejemplo, posee un mundial vector potencial de $\vec U_*$ sin embargo: no por el de Poincaré Lema per se, sino porque una cierta condición de integrabilidad (es decir, el flujo de $\vec V$ a través de una esfera alrededor de la ${\bf 0}$ debe $=0$) se cumple. Considerar como un análogo de las funciones $z\mapsto{1\over z}$ e $z\mapsto{1\over z^2}$ en el perforado plano complejo $\dot{\mathbb C}$. Ambos han local primitivas. Pero uno de ellos no tiene un mundial primitivo en $\dot{\mathbb C}$, que hace el otro, la razón de ser de que $$\int_{\partial D}{1\over z}\>dz=2\pi i\ne0\>, \qquad \int_{\partial D}{1\over z^2}\>dz=0\ .$$

Actualización: yo sugiero que busque en la entrada de Helmholtz descomposición en Wikipedia y aplicar Helmholtz teorema para una gran bola de menos una pequeña bola alrededor del origen.