Contraejemplo a la definición de simetría esférica en relatividad general.

Question

En términos prácticos, podemos decir que un espacio-tiempo es esféricamente simétrica en el GR cuando tenemos las coordenadas en las que el espacio-tiempo métricas toma la forma: $$ds^2 = -f(r,t)dt^2 +g(r,t)dr^2+h(r,t)d\Omega^2 \tag{*}$$ Si $h(r,t)$ no es una constante, más transformaciones pueden llevarse a cabo para obtener la métrica en la siguiente forma: $$ds^2 = -f(r,t)dt^2 +g(r,t)dr^2+r^2d\Omega^2 \tag{1}$$ donde $d\Omega^2$ es la métrica de una 2-esfera.

Sin embargo, uno también puede proporcionar un "algebraica" definición basada en el grupo de simetría del espacio-tiempo: el espacio-tiempo es esféricamente simétrica si su isometría grupo contiene un subgrupo isomorfo a $SO(3)$ cuyas órbitas son 2-esferas.

Algunos autores (es decir Carroll) no hacen referencia a este segundo requisito en órbitas, y uno podría preguntarse si es necesario. Alguien puede proporcionar un contraejemplo de un espacio-tiempo cuya isometría grupo contiene una copia de $SO(3)$ sin embargo, no pueden ser introducidos en el formulario de $(*)$, con la prueba?

Nota: esta pregunta ha sido modificado para reflejar el hecho de que la mayoría de la forma general de la métrica es $(*)$ e no $(1)$, por lo que no es un simple contraejemplo proporcionada en la respuesta por el usuario A. V. S.

Answer 1

Un simple contraejemplo: cualquier espacio-tiempo que tiene la estructura de $\mathcal{M}_2 \times S_2 $ para algunos 2-espacio tridimensional $\mathcal{M}_2 $ con radio constante de $S_2$ fibras. Una prueba de que tal espacio-tiempo puede ser puesta en forma (1), se observa que las órbitas de los métrica (1) a diferentes valores de $r$ son necesariamente las esferas de diferentes radios.

Una física muy interesante el espacio-tiempo con una estructura de este tipo es un Bertotti–Robinson espacio-tiempo que es, simplemente, $AdS_2 \times S_2$: $$ ds^2 =− (1 + x^2) \,dτ^2 + (1 + x^2)^{-1} dx^2 + dΩ_2^2.$$

Answer 2

...un espacio-tiempo es esféricamente simétrica si su isometría grupo contiene un subgrupo isomorfo a SO(3) cuyas órbitas son 2-esferas. Algunos autores (es decir Carroll) no hacen referencia a este segundo requisito en órbitas, y uno podría preguntarse si es necesario.

Aquí hay dos ejemplos que muestran que la condición en órbitas no es redundante:

Primer ejemplo: comenzar con el espacio-tiempo de Minkowski $ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$, eliminar la timelike worldline definido por $(x,y,z)=(0,0,0)$, e imponer la equivalencia de la relación de $(-x,-y,-z)\cong(x,y,z)$. La resultante espacio-tiempo es geodesically incompleta debido a la eliminada worldline, pero la métrica de Schwarzschild es también geodesically incompleta, así que supongo que esto es aceptable. En todas partes, el cociente de las hojas de la métrica y bien definido localmente plana, y $SO(3)$ es todavía un subgrupo del grupo de isometría (todavía tiene spacelike simetría rotacional sobre el origen), pero las órbitas no son más de 2 esferas; que son copias de $\mathbb{R} P^2$ lugar.

Segundo ejemplo: Este es suave todo el mundo; los puntos no están excluidos. Considere el caso en $\mathbb{R}\times S^3$ con el estándar de la métrica en la $S^3$, e identificar antipodal puntos de $S^3$ conseguir $\mathbb{R} P^3$. La métrica es localmente sin cambios, y la isometría grupo incluye a $SO(3)$ como un subgrupo, pero las órbitas son de nuevo las copias de $\mathbb{R} P^2$, no $S^2$.

En estos dos ejemplos, la métrica puede todavía ser escrito como en el OP de la ecuación (1), por lo que estos no son contraejemplos en ese sentido. Sin embargo, muestran que la condición de que las órbitas de 2 esferas es independiente de la condición, no implícita por tener $SO(3)$ como un subgrupo del grupo de isometría.

Tal vez la $AdS_2\times S_2$ ejemplo descrito por A. V. S. se pueden modificar de la misma manera (en sustitución de $S_2$ por $\mathbb{R}P^2$) para obtener un ejemplo en el que las órbitas de $SO(3)$ no 2-esferas y la métrica no se puede escribir en forma local, como en (1).

Me supone aquí que el grupo de isometría de $\mathbb{R}P^2$ es isomorfo a $SO(3)$. De acuerdo a https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_orthogonal_groupel grupo de isometría de $\mathbb{R}P^{2k}$ es $SO(2k+1)$ aunque el grupo de isometría de $\mathbb{R}P^{2k+1}$ es no $SO(2k+2)$.