Esta pregunta está inspirada en este hilo que está en suspenso por el momento. Arreglar un campo de $k$. Deje $P(x)\in k[x]$ ser tal que $$(1)\ \ \ \ \ P(x^2)=P(-x)P(x).$$ Deje $T(k,d)\subseteq k[x]$ denota el conjunto de soluciones a $(1)$ grado $d$, e $t(k,d)=\big|T(k,d)\big|$. Constante de soluciones son, obviamente, $P\equiv 0$ e $P\equiv 1$. Por lo $T(k,0)=\{0,1\}$ e $t(k,0)=2$. Suponemos que a partir de ahora en ese $d>0$, lo $P(x)$ no es constante.
Preguntas: (a) Es posible la lista de todos los elementos de a$T(k,d)$? (b) Cómo calcular el $t(k,d)$? (Si esto es demasiado amplio, podemos tomar $k$ a $\Bbb R$ o $\Bbb C$.)
Aquí está mi intento. Si $z\in \overline{k}$ es una raíz de $P(x)$, a continuación, $z^{2^n}$ es una raíz de $P(x)$ por cada $n$. Desde $P$ tiene un número finito de raíces, debemos tener $z=0$ o $z^{2^n-1}=1$ para algún entero positivo $n$. Supongamos que $0$ es una raíz de $P(x)$ de la multiplicidad $m_0$. A continuación, $P(x)=x^{m_0}P_1(x)$ para algunos $P_1(x)\in k[x]$ tal que $P_1(0)\neq 0$. El uso de $(1)$ tenemos $$(2)\ \ \ \ \ P_1(x^2)=(-1)^{m_0}P_1(-x)P_1(x).$$
Deje $m_1$ ser el menor entero positivo tal que $P_1(x)$ tiene una raíz $w_1\in\overline k$ tal que $w_1^{2^{m_1}-1}=1$. Debido a $m_1$ es el más pequeño posible, $w_1$, $w_1^2$, $w_1^{2^2}$, $\ldots$, $w_1^{2^{m_1-1}}$ son parejas distintas raíces de $P_1(x)$. Esto demuestra que $$P_1(x)=\prod_{r=0}^{m_1-1}\left(x-w_1^{2^r}\right)P_2(x),$$ donde $P_2(x)\in\overline{k}[x]$satisface $$P_2(x^2)=(-1)^{m_0+m_1}P_2(-x)P_2(x).$$
Al final, podemos utilizar la inducción para demostrar que existen enteros $m_0\geq 0$, $m_1>0$, $m_2>0$, $\dots$, $m_l>0$ tales que $$(3)\ \ \ \ \ P(x)=(-1)^d\,x^{m_0}\,W_1(x)\,W_2(x)\,\cdots\,W_l(x)\,,$$ donde $m_0+m_1+m_2+\ldots+m_l=d$ y cada una de las $W_j(x)\in \overline{k}[x]$ es de la forma $$\prod_{r=0}^{m_j-1}\,\left(x-w_j^{2^{r}}\right)\,,$$ donde cada una de las $w_j\in\overline{k}$ es una raíz de $z^{2^{m_j}-1}-1$, pero no es una raíz de $z^{2^r-1}=1$ para cualquier entero positivo $r<m_j$. Si $k$ es algebraicamente cerrado, a continuación, $(3)$ es una buena descripción de como usted puede conseguir, supongo. Pero ¿qué sucede cuando $k$ no es algebraicamente cerrado?
En particular, si $d=4$ e $k=\Bbb C$, existen las siguientes opciones:
$P(x)=x^4$
$P(x)=x^3\,(x-1)$
$P(x)=x^2\,(x-1)^2$
$P(x)=x^2\,(x^2+x+1)$
$P(x)=x\,(x-1)^3$
$P(x)=x\,(x-1)\,(x^2+x+1)$
$P(x)=x\,\prod\limits_{r=0}^2\,\Bigg(x-\exp\left(\frac{2\pi {2^r} i}{7}\right)\Bigg)$
$P(x)=x\,\prod\limits_{r=0}^2\,\Bigg(x-\exp\left(-\frac{2\pi {2^r} i}{7}\right)\Bigg)$
$P(x)=(x-1)^4$
$P(x)=(x-1)^2\,(x^2+x+1)$
$P(x)=(x-1)\,\prod\limits_{r=0}^2\,\Bigg(x-\exp\left(\frac{2\pi {2^r} i}{7}\right)\Bigg)$
$P(x)=(x-1)\,\prod\limits_{r=0}^2\,\Bigg(x-\exp\left(-\frac{2\pi {2^r} i}{7}\right)\Bigg)$
$P(x)=(x^2+x+1)^2$
$P(x)=\prod\limits_{r=0}^3\,\Bigg(x-\exp\left(\frac{2\pi {2^r} i}{15}\right)\Bigg)$
$P(x)=\prod\limits_{r=0}^3\,\Bigg(x-\exp\left(-\frac{2\pi {2^r} i}{15}\right)\Bigg)$
$P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$.
A menos que he omitido algo, esto da $t(\Bbb C,4)=16$. Además, sólo los polinomios de 1 a 6, 9-10, 13, 16 tienen coeficientes reales (racionales), $t(\Bbb R,4)= t(\Bbb Q,4)=10$.
