Área de una tapa esférica formada por el plano que contiene cualquier lado de un tetraedro regular inscrito

Question

Yo estaba tratando de pensar acerca de este problema hoy en día y se dio cuenta de que prácticamente todos mis geometría de la escuela secundaria me ha abandonado, por lo que "cómo encontrar" respuestas sería muy apreciada. En cuanto a que el problema real: Imagina que una unidad de la esfera tiene un tetraedro regular inscrito en ella. El plano que contiene cualquier lado del tetraedro corta la esfera de la superficie en dos partes, con diferentes áreas. ¿Cuáles son las áreas de las dos partes, y cómo se podría ir sobre la búsqueda de este tipo de cosas por mi cuenta?

Answer 1

Deje $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3,\vec{x}_4$ ser el de 4 puntos en la unidad de la esfera que forma el vértice de un tetraedro regular. Por simetría, tenemos

$$\vec{x}_1 + \vec{x}_2 + \vec{x}_3 + \vec{x}_4 = \vec{0}\tag{*1}$$ Ahora gire el eje de coordenadas de modo que $\vec{x}_1 = (0,0,-1)$, luego los otros 3 puntos mentira en un avión con $z = K$ para algunas constantes $K$. Por $(*1)$,$-1 + 3K = 0 \implies K = \frac13$. En términos de coordenadas polares esféricas $(\theta, \phi)$ :

$$(x,y,z) = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$$

Este avión $z = \frac13$ corte de la unidad de la esfera en dos piezas. La parte superior corresponde a $\cos\theta > \frac13$ y la pieza inferior corresponde a $\cos\theta < \frac13$. Dado en coordenadas polares, el elemento de superficie de la unidad de la esfera tiene la forma $\sin\theta d\theta d\phi$. El área de la parte superior e inferior de las piezas están

$$\int_0^{\cos^{-1}(\frac13)}\int_0^{2\pi} \sin\theta d\phi d\theta = \frac{4\pi}{3} \quad\text{ y }\quad \int_{\cos^{-1}(\frac13)}^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin\theta d\phi d\theta = \frac{8\pi}{3} $$

Answer 2

(Otra pista) Encontrar la distancia desde el centro del tetraedro inscrito para el centro de una de sus caras, llame a $r$ [una Vez que uno puede obtener las coordenadas de algunos regulares tetraedro de vértices y en el centro, después de reescalado uno puede obtener esta $r$.]

Una vez que el $r$ es conocido, no es probable que una disposición de la fórmula en línea para el área de un casquete esférico, dada la distancia del plano de corte de la esfera origen. Alternativamente, tal vez este puede ser configurado como una integral de superficie y realizar directamente.

Answer 3

cómo se podría ir sobre la búsqueda de este tipo de cosas por mi cuenta?

He aquí un bosquejo de una solución que utiliza la geometría simple y no el ingenio o el conocimiento de las coordenadas. Los detalles son un poco tedioso y así se deja para el lector, pero siéntase libre de preguntar si algo no está claro.

Considere la posibilidad de un tetraedro $ABCD$ de la longitud lateral $a$. Su base $ABC$ es un triángulo equilátero, y por simetría, el centroide $O$ del tetraedro se encuentra en la línea que une a $D$ $ABC$'s centroide $P$. Por elemental de la geometría se puede encontrar:

1. la longitud de una mediana de $ABC$,
2. la longitud de la $AP$, $2/3$ veces por encima de la longitud,
3. la longitud de la $DP$, debido a $APD$ es un triángulo rectángulo y longitudes $AD$ $AP$ son conocidos, y
4. la longitud de la $DO$, $3/4$ veces la longitud de la $DP$ (considere la posibilidad de dividir $ABCD$ en cuatro congruentes tetraedros con vértice común $O$; mediante la comparación de los volúmenes uno puede mostrar que $OP=\frac14AP$).

Ahora usted sabe $DO$, que es el de la radio de delimitar la esfera, y usted sabe $OP$, lo que determina cuán lejos está el avión desde el centro de la esfera. Eso es todo lo que usted necesita para conectar en la fórmula del área de un casquete esférico, y usted debe obtener que es un tercio del área de la esfera.

Bueno, supongo que esto no es totalmente geometría simple, porque no sé cómo derivar el área de un casquete esférico a través de medios elementales, así que hay que.