Probar la fórmula de reducción$I_n = \frac{1}{n} \cos^{n-1}(x) \sin(x) + \frac{n-1}{n} I_{n-2} \ for \ n \geq 2$

Question

Deje $$$ I_n = \int\cos^n{x} \ dx, \;\text{ for } n=0,1,2,3, \ldots$

Probar la fórmula de reducción $$I_n = \frac{1}{n} \cos^{n-1}(x) \sin(x) + \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \; n \geq 2.$ $

¿Cómo enfoco esta pregunta? ¿Hay algo que deba tener en cuenta?

Answer 1

Puede utilizar convencionalmente la integración por partes.

Aquí es otro método:

PS

Integre ambos lados wt $$\dfrac{d(\cos^mx\sin x)}{dx}=\cos^{m+1}x-m\cos^{m-1}x(1-\cos^2x)$ para encontrar $x$ $

Answer 2

Utilizamos integración por partes;

PS

Entonces recordando $$I_{n}=\int \cos^{n}(x)dx=\int \cos^{n-1}(x)\cos(x)dx=\int\frac{d}{dx}\left(\sin(x)\cos^{n-1}(x)\right)+(n-1)\sin^{2}(x)\cos^{n-2}(x)dx$ , tenemos;

PS

Entonces resolviendo para $\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$ da el resultado.

Answer 3

$$I_n=\int\cos^n(x)dx=\int\cos^{n-2}(x).\cos^2(x)dx=\int\cos^{n-2}(x)\left[1-\sin^2(x)\right]dx$$$ $ = I_ {n-2} - \ int \ cos ^ {n-2} (x) \ sin ^ 2 (x) dx$$$ $ = I_ {n -2} - \ frac {\ cos ^ {n-1} (x) \ sin (x)} {n-1} + \ int \ frac {\ cos ^ n (x)} {n-1} dx $ $ so: $$I_n=I_{n-2}-\frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n-1}+\frac{I_n}{n-1}$ $ $$I_n=\frac{n-1}{n-2}I_{n-2}-\frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n-2}$ $

Answer 4

Un poco más detallado, pero esencialmente la misma respuesta como algunos ya dado

$$I_n=\int\cos^nt\ dt$$ $$I_n=\int\cos^{n-1}t\ \cos t\ dt$$ Integración por partes: $$dv=\cos t\ dt\Rightarrow v=\sin t\\u=\cos^{n-1}t\Rightarrow du=-(n-1)\cos^{n-2}t\ \sin t\ dt$$ $$I_n=uv-\int vdu$$ $$I_n=\cos^{n-1}t\ \sin t-\int\sin t\ (-(n-1)\cos^{n-2}t\ \sin t)dt$$ $$I_n=\cos^{n-1}t\ \sin t+(n-1)\int\cos^{n-2}t\ \sin^2t\ dt$$ $$I_n=\cos^{n-1}t\ \sin t+(n-1)\int\cos^{n-2}t\ (1-\cos^2t)dt$$ $$I_n=\cos^{n-1}t\ \sin t+(n-1)\int\cos^{n-2}t\ dt-(n-1)\int\cos^nt\ dt$$ $$I_n=\cos^{n-1}t\ \sin t+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$$ $$I_n+(n-1)I_n=\cos^{n-1}t\ \sin t+(n-1)I_{n-2}$$ $$nI_n=\cos^{n-1}t\ \sin t+(n-1)I_{n-2}$$ $$I_n=\frac{\cos^{n-1}t\ \sin t}n+\frac{n-1}nI_{n-2}$$ QED

Answer 5

Bonita explicacion ¿Qué pasa si cambias a $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\mathrm{d}x$ $ ? ¿Qué es entonces el cambio?