¿Cuántos pares de números enteros positivos $(n, m)$ son tales que $2n+3m=2015$ ?

Question

Sé que $m$ debe ser impar y $m\le671$ . También, $n\le1006$ . No puedo ir más lejos, ¿alguna ayuda?

Answer 1

Desde $2$ y $3$ son coprimos, toda solución entera $(a,b)$ de $2a+3b=2015$ es de la forma $a=1+3k,b=671-2k$ para algún número entero $k$ . Para que ambos $a$ y $b$ son positivos, $k$ debe encontrarse entre $0$ y $335$ por lo que existen $\color{red}{336}$ soluciones enteras positivas.

Answer 2

Pista: Cualquier impar $m$ en el rango lo hará: express $n$ de la ecuación.

Answer 3

$$\begin{array} {|cc|} \hline 1 & 2014 \\ {\color{red}{ 2 }} & {\color{blue}{ 2013 }} \\ 3 & 2012 \\ {\color{red}{ 4 }} & 2011 \\ 5 & {\color{blue}{ 2010 }} \\ {\color{red}{ 6 }} & 2009 \\ 7 & 2008 \\ {\color{red}{ 8 }} & {\color{blue}{ 2007 }} \\ 9 & 2006 \\ {\color{red}{ 10 }} & 2005 \\ 11 & {\color{blue}{ 2004 }} \\ {\color{red}{ 12 }} & 2003 \\ 13 & 2002 \\ {\color{red}{ 14 }} & {\color{blue}{ 2001 }} \\ 15 & 2000 \\ \vdots & \vdots \end{array}$$

Aquellos en los que tanto el rojo como el azul están resaltados, $2$ , $8$ , $14$ , $\dots$ que son $2$ más que un múltiplo de $6$ . Así que es $\left \lfloor \frac {2015 - 2}{6} \right \rfloor + 1 = 336$ .