$[0,1]^{\mathbb{N}}$ con respecto a la topología de la caja no es compacto

Question

¿podría alguien ayudar a mostrar que $[0,1]^{\mathbb{N}}$ con respecto a la topología de la caja no es compacto? ¡Gracias!

Answer 1

No hay absolutamente nada de malo con que muestra no compacidad de $X = \square_{k=0}^\infty [0,1]$ directamente mirando abra las cubiertas, pero hay otras maneras también. Por ejemplo:

Si $X = {\Large \square}_{k=0}^\infty [0,1]$ fueron compacto, cerrado subespacio $ {\Large \square}_{k=0}^\infty \{0,1\}$ sería compacto, pero no es difícil mostrar que $ {\Large \square}_{k=0}^\infty \{0,1\}$ es un infinito, cerrado, conjunto discreto en $X$ y por lo tanto no puede ser compacto.

Aún más sencillo:

Para $n\in\mathbb{N}$ deje $x_n \in X$ ser el punto tal que $x_n(n) = 1$ $x_n(k) = 0$ si $k\ne n$. Ahora consideremos el conjunto $A = \{x_n:n\in\mathbb{N}\}$. Es infinito, así que si $X$ eran compactas, $A$ tendría un punto límite en $X$. Pero no es difícil mostrar que $A$ es un cerrado, discreto subconjunto de $X$ y por lo tanto no tiene ningún punto límite en $X$.

Answer 2

Deje $a=(a_1,a_2,\dots)$ ser una secuencia que consta de sólo $0$'s y $1$'s y definir $U_{an}=[0,\frac{3}{4})$ si $a_n=0$ $U_{an}=(\frac{1}{4},1]$ si $a_n=1$. También, definir $U_a=\prod_{n=1}^{\infty} U_{an}$.

Ejercicio 1: Demostrar que $U_a$ es un subconjunto abierto de $[0,1]^{\mathbb{N}}$ en el cuadro de topología pero es que no es un subconjunto abierto de $[0,1]^{\mathbb{N}}$ en el producto de la topología.

Ejercicio 2: Demostrar que la colección de subconjuntos de a $[0,1]^{\mathbb{N}}$ de la forma $U_a$ donde $a=(a_1,a_2,\dots)$ es una secuencia que consta de sólo $0$'s y $1$s'es una cubierta abierta de a $[0,1]^{\mathbb{N}}$ en el cuadro de topología.

Ejercicio 3: ¿esta abierto de la cubierta tiene un número finito de subcover?

Los siguientes problemas deben ser de interés adicional:

Problema 1: Vamos a $\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ ser una colección de espacios topológicos. Si el cuadro de la topología en $\prod_{n=1}^{\infty} X_n$ es un compacto de espacio topológico, ¿qué se puede deducir acerca de la $X_n$'s? En otras palabras, ¿cómo las topologías sobre el individuo, $X_n$'s afectan a la compacidad de $\prod_{n=1}^{\infty} X_n$ en el cuadro de topología?

Problema 2: En el contexto del Problema 1, si $\prod_{n=1}^{\infty} X_n$ es compacto en el cuadro de topología, a continuación, probar que $X_n$ es compacto para todas las $n\in\mathbb{N}$.

Problema 3: Un espacio topológico $X$ se dice que countably compacto si toda cubierta abierta de a $X$ tiene una contables subcover. Es $[0,1]^{\mathbb{N}}$ countably compacto en el cuadro de topología?

Espero que esto ayude!

Answer 3

$$\left{\displaystyle\prod_{n\in \mathbb{N}} I_n : I\in \left{[0,\frac23),(\frac13,1]\right}^\mathbb{N}\right}$$

es una cubierta abierta de $[0,1]^{\mathbb{N}}$ con la topología de la caja que no tiene un subcover finito.