La principal diferencia entre débiles y fuertes de las soluciones es, de hecho, que el fuerte de las soluciones que se da un movimiento Browniano en un determinado espacio de probabilidad, mientras que para soluciones débiles somos libres para elegir el movimiento Browniano.
Definición: Dejar $(B_t)_{t \geq 0}$ ser un movimiento Browniano con admisible de filtración $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$. Progresivamente, un proceso cuantificable $(X_t,\mathcal{F}_t)$ es una fuerte solución con condición inicial $\xi$ si $$X_t-X_0 = \int_0^t \sigma(s,X_s) \, dB_s + \int_0^t b(s,X_s) \, ds, \qquad X_0 =\xi \tag{1}$$ holds almost surely for all $t \geq 0$.
Definición: Un proceso estocástico $(X_t,\mathcal{F}_t)$ en algunos probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ se llama una solución débil con distribución inicial $\mu$ si existe un movimiento Browniano $(B_t)_{t \geq 0}$ a $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ tal que $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ es admisible de filtración, $\mathbb{P}(X_0 \in \cdot) = \mu(\cdot)$ y $$X_t-X_0 = \int_0^t \sigma(s,X_s) \, dB_s + \int_0^t b(s,X_s) \, ds$$ holds almost surely for all $t \geq 0$.
Como consecuencia de estas definiciones, tenemos que considerar las diferentes nociones de singularidad. Para fuerte soluciones típicamente estamos buscando pathwise soluciones únicas, es decir, si $(X_t^{(1)})_{t \geq 0}$ e $(X_t^{(2)})_{t \geq 0}$ son fuertes soluciones a $(1)$ con la misma condición inicial, luego pathwise singularidad significa $$\mathbb{P} \left( \sup_{t \geq 0} |X_t^{(1)}-X_t^{(2)}|=0 \right)=1.$$ Como el siguiente ejemplo muestra que no tiene sentido hablar de pathwise la singularidad de los débiles soluciones.
Ejemplo 1: Vamos a $(W_t^{(1)})_{t \geq 0}$ e $(W_t^{(2)})_{t \geq 0}$ dos Browniano de las mociones (posiblemente definidas en diferentes espacios de probabilidad), $X_t^{(1)} := W_t^{(1)}$ e $X_t^{(2)} := W_t^{(2)}$ son débiles soluciones a la SDE $$dX_t = dB_t, \qquad X_0 = 0$$ Why? According to the definition we are free choose the driving Brownian motion, so we can set $B_t^{(1)} := W_t^{(1)}$ and $B_t^{(2)} := W_t^{(2)}$, respectively, and then $$dX_t^{(i)} = dB_t^{(i)} \quad \text{for $i=1,2$}.$$
¿Qué podemos aprender de esto? Desde soluciones débiles podrían ser definidas en diferentes espacios de probabilidad, no hay ninguna (inmediata) para calcular las probabilidades de la forma $\mathbb{P}(X_t^{(1)}=X_t^{(2)})$ durante dos soluciones débiles $(X_t^{(1)})_{t \geq 0}$ e $(X_t^{(2)})_{t \geq 0}$, y por lo tanto no podemos ni siquiera intento de hablar sobre pathwise singularidad. Por la misma razón, no tiene sentido hablar de pointwise condiciones iniciales $\xi$ para soluciones débiles (... para esto sería necesario corregir algunos de probabilidad espacio en el que $\xi$ vida...); en su lugar se prescribe sólo la distribución inicial de la $X_0$.
El siguiente ejemplo muestra que no podemos esperar a tener pathwise singularidad incluso si las soluciones débiles son definidos en el mismo espacio de probabilidad.
Ejemplo 2: Vamos a $(W_t)_{t \geq 0}$ ser un movimiento Browniano. De ello se desprende del Ejemplo 1 que $X_t^{(1)} := W_t$ e $X_t^{(2)} := -W_t$ son débiles soluciones a la SDE $$dX_t = dB_t, \qquad X_0 =0.$$ Clearly, $\mathbb{P}(X_t^{(1)} = X_t^{(2)}) = \mathbb{P}(W_t=0)=0$.
La "buena" idea de la unicidad de soluciones débiles es débil singularidad, es decir, la unicidad en la distribución (= las soluciones tienen el mismo finito-dimensional de las distribuciones).
Normalmente es mucho más fácil probar la existencia (y/o unicidad de una solución débil que el de la existencia (y/o singularidad) de una solución fuerte.
Ejemplo 3: El SDE $$dX_t = - \text{sgn}\,(X_t) \, dB_t, \qquad X_0 = 0 \tag{2}$$ tiene una solución débil pero ninguna solución.
Vamos a demostrar que la SDE tiene una solución débil. Deje $(X_t,\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ ser algunos de movimiento Browniano y definir $$W_t := -\int_0^t \text{sgn} \, (X_s) \, dX_s.$$ It follows from Lévy's characterization that $(W_t,\mathcal{F}_t)$ is also a Brownian motion. Since $$dW_t = - \text{sgn} \, (X_t) \, dX_t$$ implies $$dX_t = - \text{sgn} \, (X_t) \, dW_t$$ this means that $(X_t)_{t \geq 0}$ is a weak solution to $(2)$. Para una prueba de que una solución fuerte de que no existe véase, por ejemplo, Ejemplo 19.16 en el libro de Schilling & Partzsch sobre el movimiento Browniano.
Permítanme por último mencionar que la debilidad de soluciones están estrechamente relacionados con la martingala de los problemas; en esta respuesta he tratado de dar algunas ideas sobre la conexión entre las dos nociones.
