¿Cuál es la distribución de los valores propios de una matriz de Toeplitz real y simétrica?

Question

Me pueden ayudar a encontrar la distribución de los valores propios de una matriz de Toeplitz $\mathbf{K}$ que se construye de la siguiente manera: $$\mathbf{K}=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & \rho & \ldots & \, \, \rho^{N-1} \\ \rho & 1 & \ldots & \, \,\rho^{N-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho^{N-1} & \rho^{N-2} & \ldots & 1 \\ \end{array} \right].$$ donde $0 \leq \rho < 1$ .

Muchas gracias de antemano,

Farzad

Answer 1

Para grandes $N$ los valores propios de $K$ se distribuyen aproximadamente como $2\pi f(\lambda)$ evaluados a frecuencias $-\pi + 2\pi j/N$ ; $f(\lambda)$ es la densidad espectral asociada a la secuencia de covarianza en su matriz de Toeplitz. Véase, por ejemplo Hannan, E.J. Análisis de series temporales , Cap. 1 hacia el final.

Encontrará más información en Grenander & Szego, Formas de Toeplitz y sus aplicaciones pero no tengo ese libro a mano y no puedo decir de memoria si responder a su pregunta con mayor precisión.