¿Pueden invertirse a vectores?

Question

Deseo consultar si es posible resolver el bajo $C$.

$$B^{-1}(x-\mu) = xc $$

Aquí obviamente $B$ es una matriz inversible y tanto $c$ y $\mu$ son vectores columna. ¿Sería la solución de $$x^{-1}B^{-1}(x-\mu) = c $ $ ¿es posible invertir los vectores?

Qué tal si fue lo contrario

$$B^{-1}(x-\mu) = cx $$

¿Hay alguna otra manera de hacer esto? Gracias de antemano.

Answer 1

Vectores, en general, no puede ser invertida en virtud de la multiplicación de la matriz, como única plaza matricies puede inversos. Sin embargo, en la situación que he descrito, es posible calcular $c$, de todos modos, suponiendo que la ecuación se satisface para algunos $c$. Si multiplicamos ambos lados por $X^T$, el resultado es $x^T B^{-1} (x-\mu) = x^T x c = |x|^2 c$. Suponiendo que x no es el vector cero (en cuyo caso las $c$ todavía tiene $xc=0$, por lo que la elección de la $c$ debería funcionar), acabamos de recibir un $c= \frac{1}{|x|^2} x^T B^{-1} (x-\mu)$.

Debo precaución de que la expresión anterior para $c$ es definido, incluso cuando no hay ninguna solución de la ecuación original, que será casi todo el tiempo al azar generado por los vectores y matrices. Por lo tanto, si usted se va a utilizar, se debe comprobar que esto funciona conectando lo que usted consigue para $c$ nuevo en la expresión original y ver si funciona. Además, la elección de $x^T \over |x|^2$ no es único, es cualquier vector fila $v$ tal que $vx=1$ va a funcionar igual de bien en la expresión anterior.

Answer 2

$$B^{-1}(x-\mu) = xc $ $ Si se conoce el % de matriz $B$, ¿por qué no escribir $$ (B ^ {-1} - cI) x = B ^ {-1} \mu $$ y luego preocuparse si $B^{-1}-cI$ es invertible?

Answer 3

No hay ninguna tal cosa como un inverso de un vector (a menos que el vector es realmente un vector de $1\times 1$, por supuesto).

De lo contrario, sería una solución $C$ para cualquier $B,X,\mu$ (o al menos cualquier $X$ "invertible"), pero que obviamente no es el caso (por ejemplo, para cualquier $X$ si ponemos $B=I$, $\mu$ $X$, linealmente independientes no hay $C$).