Asociados paquetes: isomorfismo entre espacios de formas diferenciales.

Question

Creo que esto va a ser una pregunta fácil para muchas personas.

Deje $\pi:P\rightarrow M$ ser un director y paquete de $\rho:G\rightarrow GL(V)$ una representación.

El espacio de $k$ de las formas en $M$ con valores en $P\times_G V$ (denotamos como $\Omega^k(M;P\times_G V)$ puede ser identificado con el espacio de la horizontal, a la derecha invariante $k$formularios en $M$ (denotamos como $\Omega^k_G(P;V))$.

Es decir, hay un isomorfismo:

$\Omega^k_G(P;V)\cong \Omega^k(M;P\times_G V)$.

Estoy leyendo algunas notas de la conferencia que decir

Deje $\overline{\zeta}\in \Omega^k_G(P;V)$. Definir $\zeta_{\alpha}=s_{\alpha}^*\overline{\zeta}\in \Omega^k(U_{\alpha};V)$. ($s_{\alpha}$ es el local de la sección $s_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow P$).

A continuación, le pide a mostrar que $\{\zeta_{\alpha}\}$ definir un formulario en $\Omega^k(M;P\times_G V)$, demostrando que las 'encolado de la ecuación se satisface

$\zeta_{\alpha}=\rho(g_{\alpha\beta})\circ \zeta_{\beta}$.

Aquí $g_{\alpha\beta}$ es la transición de las funciones relacionadas con el local trivialisations que satisfacer $s_{\beta}(m)=s_{\alpha}(m)g_{\alpha\beta}(m)$.

Me las he arreglado para mostrar que la ecuación tiene. Mi pregunta es - ¿por qué la construyeron $\zeta_{\alpha}\in \Omega^k(U_{\alpha};V)$ definir las formas en $\Omega^k(M;P\times_G V)$? Entiendo que $P\times_G V$ tiene la estructura de una fibra paquete con la típica fibra $V$, pero no estoy seguro de por qué el encolado ecuación es importante. Supongo que tiene algo que ver con el hecho de que debido a que la ecuación tiene, uno es capaz de extender la definición local de ir a un mundial. No estoy seguro. Si alguien puede ayudar a que sería genial.

Answer 1

Esta es una situación en la que la generalización que hace las cosas más claras. Supongamos que $X$ es de un colector y $G$ es una mentira grupo que actúa libremente y correctamente de forma discontinua en $X$. De ello se deduce que el cociente $X/G$ existe en la categoría de colectores y tenemos un suave mapa de $ \rho : X \to X/G$. Suponga que $ \pi : E \to X $ $G$- equivariant vector paquete. Es decir, $E$ es un vector de un paquete con $G$ acción tal que $ \pi $ $G$- equivariant y $ g : E_x \to E_{gx}$ es un isomorfismo lineal. Tenga en cuenta que si $s$ es una sección de $E$, $g s g^{-1}$ es una sección de $E$. Por lo tanto, $G$ actúa en las secciones de $E$.

El cociente $E/G$ es un vector paquete en la $X/G$. En el cociente $E/G$, $E_x$ y $E_{gx}$ identificarse a través de la multiplicación por $g$. Por otra parte, si $ U \subseteq X/G$ es abierto, entonces $$ H^0(E/G,U) = H^0(E,\pi^{-1}(U))^G $$ Si esto no es claro, intentar atraer a algunos de los dibujos animados, en el caso de $G$ es un grupo finito. Este es un caso especial de los siguientes más generales de la realidad: supongamos que $E$ $F$ $G$- equivariant vector de paquetes en $X$. Entonces $$ {\rm Hom} \, (E/G,F/G) = {\rm Hom}(E,F)^G $$

Ahora considere la siguiente secuencia exacta de $G$-equivariant vector de paquetes en $X$: $$ 0 \to V \to TX \xrightarrow{\rho'} \rho^* T(X/g) \to 0 $$ Llamamos a $V$ vertical subbundle: consta de los vectores que son tangentes a las órbitas. El isomorfismo $ \rho' : TX / V \to \rho^* T(X/G)$ induce un isomorfismo $(TX/V)/G \cong T(X/G)$. Si $E$ $G$- equivariant vector paquete en la $X$ $$ {\rm Hom} \, (T(X/G),E/G) = {\rm Hom} \, ((TX/V)/G,E/G) = {\rm Hom} \, (TX/V,E)^G $$ Esta dice que el $E/G$con valores de 1-formas en $X/G$ son los mismos que $E$con valores de 1-formas $\eta$ $X$ tal que

• $\eta(v) = 0 $ para la tangente vectores $v \in V$
• $L_g^* \eta = g \cdot \eta $

se extiende de este a $p$-formas es fácil: la primera condición se convierte en $\eta(v_1,\dots,v_p) = 0 $ cada vez que uno de los $v_i$ es tangente a una órbita y el segundo no cambia.

Ahora vamos a aplicar este marco a su problema. Suponga que $M$ es un colector, $G$ es una Mentira grupo, $ \pi : P \to G$ es una de las principales $G$-bundle y $V$ $G$- representación. A continuación,$ P / G = M $. El vector paquete de $P \times V$ $G$- equivariant con $G$-acción, dada por $$ (p,v) \cdot g = (pg,g^{-1}v) $$ El cociente bundle $P \times V / G = P \times_G V $ es un vector paquete en la $M$. Un $P \times_G V$valores $p$-forma en $M$ es el mismo que el de un $V$valores $p$forma $\eta$ $P$ tal que

• $\eta(v_1,\dots,v_p) = 0 $ cuando uno de los $v_i$ es tangente a la fibra
• $R_g^* \eta = g^{-1} \cdot \eta $

Las fórmulas se ven un poco diferentes porque $G$ actúa en $P$ desde la derecha en lugar de la izquierda. Esto es exactamente este isomorfismo $\Omega^p_G(P,V) \cong \Omega^p( M, P\times_G V) $, lo que le preguntaban.

Answer 2

Lo mismo como tu otra pregunta, aquí es una nota que tomé: https://www.evernote.com/shard/s318/sh/e4354637-e8a0-4a89-9043-4507303f7006/af3513ed77440494665094c5f4270cc3