Teniendo problemas con .9999 .. = 1 en cálculo

Question

el problema que tengo con la suposición de que,cuando me encontré con este problema ¿cuál es $$\lim\ _{x\to \infty} \left[1 -\frac1x\right]^{-x}$$

Pensé que iba a ser 1, pero la respuesta es $e^{-1}$ , ¿cómo ?

mi razonamiento es $\frac1x$ va a ser muy pequeña y 1 menos un número muy pequeño sería a.99999... que es más o menos igual a 1 y 1 elevado a la potencia de un gran número también sería 1.

Editar:

ok creo que es necesario elaborar un poco, quiero ver donde mi intuición está fallando así que voy a tratar de romper mi hasta suposiciones y nadie puede señalar a donde voy mal

1) si x es un gran número $\frac1x$ va a ser muy, muy pequeño

2) 1 menos de un muy pequeño número, es .999.. repetir o no ?

3) si 1 y 2 son correctas, entonces debe ser igual a 1 a la derecha ?

y lo siento si soy un poco tonto.. trate de tener paciencia conmigo chicos :)

Edit 2 el enlace que figura en el comentario parecía ayudar ,la segunda respuesta.Gracias @jyrki-lahtonen Resolver un Aparentemente Simple Límite

Edit 2 encontré este vídeo que explica el problema exacto .. :) http://www.youtube.com/watch?v=kAv5pahIevE&list=SPBE9407EA64E2C318&index=10

Answer 1

$$\lim\ _{x\to \infty} \left[1 -\frac1x\right]^{-x} = y$ $ tomando$\log$ en ambos lados$$\lim\ _{x\to \infty} -x\log\left[1 -\frac1x\right] =\log(y)$ $

por lo tanto, el límite cambia a como$x\to\infty$$$log(y)=1 \to y=e $ $

Answer 2

$$ \ left (1 - {1 \ over x} \ right) ^ {- x} = {\ rm e} ^ {- x \ ln \ left (1 \ - \ 1 / x \ right)} \ \ overbrace {\ quad \ to \ quad} ^ {x \ \ to \ \ infty} \ {\ rm e} ^ {- x \ left (-1 / x \ right)} = {\ rm e} $$