Encuentra $x$: $\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}=\sqrt[3]{5}$

Question

He visto otra ecuación que tengo que resolver para $x$. $$\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}=\sqrt[3]{5}$$ Indícame cómo debo simplificarla y luego resolverla. ¡No tengo ni idea! :(

Answer 1

Al cubar ambos lados $$5=1+\sqrt x+1-\sqrt x+3\sqrt[3]{5(1-x)}$$

$$\iff\sqrt[3]{5(1-x)}=1$$

Cubamos ambos lados

Answer 2

Pista

Establece $a=\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}$ y $b=\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}$ y observa que

$$\begin{align} a+b&=\sqrt[3]{5}\\ a^3+b^3&=2 \end{align}$$

Además, utiliza la expansión binomial de $(a+b)^3$ para obtener

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

El término $ab$ puede ser calculado utilizando la primera relación. ¿Puedes continuar a partir de aquí?