Mi amigo dijo que para cualquier $n=p^a$ , donde $p$ es impar prime , $a$ es un número entero positivo entonces: Si $k$ es divisible por $p-1$ entonces $1^k+2^k+\cdots+n^k\equiv -p^{a-1}\pmod{p^a}$ . Estoy muy seguro de que su resultado es erróneo. Mi pensamiento es simple: Utilizo la raíz primitiva de $p^a$ . Pero no consigo construir un contraejemplo para él. Así que mi pregunta es esa: ¿Podríamos construir un ejemplo de $k$ para que $p-1\mid k$ y $1^k+2^k+\cdots+n^k\not\equiv -p^{a-1}\pmod{p^a}$ .
La segunda cuestión es esa: ¿Se mantiene lo siguiente: $1^k+2^k+\cdots+n^k\not\equiv -p^{a-1}\pmod{p^a}$ si y sólo si $p-1\mid k$ ?
