¿Es $\{w:\lim_{n \rightarrow \infty}S_n/n \in A\}$ en cola $\sigma$ campo?

Question

Supongamos $\{X_n\}$ son independientes de las variables aleatorias en $(\Omega, \mathcal{F},P)$. Set $S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i$.

Supongamos $\frac{1}{n}S_n \rightarrow Y \;a.s.$ para algunos de los verdaderos valores de variable aleatoria $Y$. Cómo mostrar que para cualquier conjunto a $A \subset R$ $$E:=\{w:Y \in A\} \in \mathcal{T}?$$ Aquí $\mathcal{T}$ representa la cola $\sigma$-campo.

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El problema que me encuentro:

Si por cualquier $t \in N^{+}$, $$\{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} \in A\} = \{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=t}^{n}X_i}{n} \in A\},$$ en realidad nos terminado la prueba.

Mi rompecabezas acerca de la ecuación anterior: Es claro que el lado izquierdo implica el lado derecho. Pero creo que el lado derecho no implica necesariamente el lado izquierdo. Lo que si $X_j(w) = \infty$ algunos $j < t$?

Yo no uso el hecho de que $Y$ es un valor real variable aleatoria. Creo que puede ser la clave. Pero ¿Cómo se usa?

Answer 1

Caso 1: Para todos los $n\in \mathbb{N}^+$, $X_n$ son reales-valores de variables aleatorias.

En este caso, para todos los $n\in \mathbb{N}^+$ y para todos $w\in \Omega$, $X_n(w)\neq \pm\infty$.

Así, tenemos que, para cualquier $A\subseteq \mathbb{R}$ cualquier $t\in \mathbb{N}^+$

$$\left\{w : \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i(w)}{n} \in A\right\}=\left\{w : \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=t}^{n}X_i(w)}{n} \in A\right\}$$ y podemos concluir fácilmente que $$\left\{w : \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i(w)}{n} \in A\right\}\in \mathcal{T} \:\:\:\:\:\:\:\: (*)$$ donde $\mathcal{T}$ es la cola $\sigma$-campo.

Comentario para el caso 1: Por otro lado, desde la $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} \rightarrow Y \;a.s.$, tenemos que $$P\left(\left\{w : \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i(w)}{n} \in A\right\}\:\Delta\:\{w:Y(w) \in A\}\right)=0$$ Pero, esta información, incluso combinados con $(*)$, NO es suficiente para probar que $\{w:Y(w) \in A\} \in \mathcal{T}$.

Caso 2: Las variables aleatorias $X_n$ puede tener una infinidad de valores ($\pm\infty$).

En este caso, el resultado es falso, como se muestra en la siguiente counterexemple.

Vamos, para cada una de las $n\in \mathbb{N}^+$, vamos $\Omega_n=\{0,1\}$, $\mathcal{F}_n=2^{\Omega_n}$ y $P_n$ la probabilidad definida en $\mathcal{F}_n$ por $P_n({0})=1$, $P_n({1})=0$.

Vamos $\Omega=\prod_{n=1}^{+\infty}\Omega_n$, $\mathcal{F}=\prod_{n=1}^{+\infty} \mathcal{F}_n$ y $P=\prod_{n=1}^{+\infty} P_n$. Para cada $n\in \mathbb{N}^+$, $\pi_n: \Omega \to \Omega_n$ es la proyección en el $n$th factor.

Vamos, que para cada una de las $n\in \mathbb{N}^+$, defina la variable aleatoria $X_n$ por: $$ X_n(w)= \left\{\begin{aligned} &0 &\textrm{ if } \pi_n(w)=0; \\ &+\infty &\textrm{ if } \pi_n(w)=1 \end{aligned} \right. $$ Es fácil ver que $\{X_n\}$ son independientes de las variables aleatorias en $(\Omega, \mathcal{F},P)$. Deje $Y$ ser una variable aleatoria definida en $(\Omega, \mathcal{F},P)$ por $$ Y(w)= \left\{\begin{aligned} &0 &\textrm{ if, for all } n\in \mathbb{N}^+, \pi_n(w)=0; \\ &1 &\textrm{ if there is } n\in \mathbb{N}^+ \textrm{ s.t. } \pi_n(w)=1 \end{aligned} \right. $$ Ahora, vamos a $$E= \left\{w : \textrm{ for all } n\in \mathbb{N}^+, \pi_n(w)=0 \right\}$$ Es fácil ver que $$\left\{w :\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i(w)}{n} = Y(w)\right\}=E$$
y $$P(E)=1$$ Por lo $\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$ converge $Y$.s.

Ahora tome $A=\{0\}$, tenemos $$\left\{w :\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i(w)}{n} \in A\right\}=\left\{w : Y(w) \in A \right\}=E$$

Y, es fácil ver que $E\notin \mathcal{T}$.

Answer 2

Si las variables aleatorias tomar valores en $(\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))$ en lugar de $(\overline{\mathbb R}, \mathscr B(\overline{\mathbb R}))$, entonces ninguna de las variables aleatorias o $Y$ puede ser infinito. Me encontré con un problema similar.

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Si las variables aleatorias, de hecho, tome valores en $(\overline{\mathbb R}, \mathscr B(\overline{\mathbb R}))$...

Digamos, por ejemplo,$t=2$$X_1(\omega) = \infty$, entonces...no veo cuál es el problema. En realidad, sabemos que si en verdad

$$Y = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} \ \text{a.s.}$$

a continuación,$\forall t \in \mathbb N$,

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=t}^{n}X_i}{n} \ \text{a.s.}$$

Esto es debido a que el límite de una secuencia de números o funciones no depende de cualquier subconjunto finito de términos. Por lo tanto, la igualdad en cuestión de la siguiente manera a la anteriormente mencionada.

Así que sí, suponiendo que el límite existe, no creo que se le debería importar w/c de las variables aleatorias son infinitas. Estás pensando algo como:

$$Y = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} = \infty \ \text{a.s.}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=2}^{n}X_i}{n} < \infty \ \text{a.s.}$$

?

Que estaría en contradicción con el anterior hecho. Si, por ejemplo,$Y = X_1 = \infty \ \text{a.s.}$, entonces, de hecho, se sigue que

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=2}^{n}X_i}{n} = \infty \ \text{a.s.}$$

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Otra cosa a tener en cuenta es casi seguramente. Tal vez la igualdad que se trata en realidad sólo posee casi seguramente.