Límite de la varianza

Question

Estoy tratando de demostrar que el segundo momento es limitada por 1 de arriba.

Deje $x=(x_1, \ldots, x_n)$ ser real vector tal que $\|x\|_2=1$. Deje $\pi(\cdot)$ ser una permutación en el set $\{1,...,n\}$, con una distribución uniforme. Me gustaría mostrar que $E\left|\sum_{i=1}^kx_{\pi(i)}-\sum_{i=k+1}^{n}x_{\pi(i)}\right|^2\leq 1,$ $1\leq k\leq n$.

Como se muestra en la Expectativa de la diferencia de las sumas

Denotando por $A=\sum_{i=1}^{n}x_i\quad\text{and}\quad B=\sum_{i=1}^{n}x_i^2$ obtenemos que para cada $i$ y cada una de las $i\ne j$, $$\mathbb E(x_{\pi(i)}^2)=\frac{B}{n},\quad\mathbb E(x_{\pi(i)}x_{\pi(j)})=\frac{A^2-B}{n(n-1)}.$$

Ahora, la expansión de la plaza, en la expectativa, obtenemos: $$E\left|\sum_{i=1}^kx_{\pi(i)}-\sum_{i=k+1}^{n}x_{\pi(i)}\right|^2=B+\frac{(A^2-B)(k(k-1)+(n-k)(n-k-1)-2kn)}{n(n-1)}.$$

Pero ahora estoy atascado. ¿Cómo puedo demostrar que la última expresión es menor o igual a uno?

Gracias.

Answer 1

Esto es falso Para$k=n$, el valor no depende de$\pi$ y es simplemente$|\sum_ix_i|^2$, que no es necesariamente$\le1$, por ejemplo, para$x=(1/2,1/2,1/2,1/2)$.