Mi amigo estaba practicando para su examen de ingreso y uno de los problemas de los exámenes más antiguos era éste. Se pregunta si converge y que explique el razonamiento de esa respuesta. La serie es:
$$\sum_{n=1}^\infty \sin^2\left(\pi(n + \tfrac{1}{n})\right)$$
Teníamos algunas ideas, pero ninguna parecía funcionar. Espero que nos ayuden.
Utilizando $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ podemos escribir $$\sin^2 \left(\pi \left( n+\frac{1}{n} \right) \right) = \sin^2 \frac{\pi}{n} \sim \frac{\pi^2}{n^2}, \quad n \to \infty.$$ Aquí $f \sim g$ significa $\frac{f}{g} \to 1$ (y, por tanto, está acotado por ambos lados). Como la serie $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (en realidad $= \frac{\pi^2}{6}$ ) por la prueba de comparación su serie también converge.
Por cada $x$ en $[0,\pi]$ , $0\leqslant\sin(x)\leqslant x$ por lo que $\sin^2(x)\leqslant x^2$ .
Por cada $n\geqslant1$ , $\sin^2(\pi(n+1/n))=\sin^2(\pi/n)$ y $\pi/n$ está en $[0,\pi]$ por lo que $\sin^2(\pi/n)\leqslant\pi^2/n^2$ .
Por último, la serie (de Riemann) $\sum\limits_{n\geqslant1}1/n^2$ converge por lo tanto, por comparación de series con términos no negativos, la serie $\sum\limits_{n\geqslant1}\sin^2(\pi(n+1/n))$ converge (y su suma es como máximo $\pi^4/6$ ).
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