Definición de un atractor extraño.

Question

Puede ser que no es el lugar adecuado para esto, pero no sé la definición correcta de un atractor extraño. Wikipedia dice que "Un atractor informal es descrito como extraño si se tiene no enteros de dimensión o si la dinámica en que se caótico." En el Tucker artículo sobre el sistema de Lorenz está escrito que "un atractor es llamada extraño si para casi todos los pares de puntos diferentes en B( Λ_f ), sus órbitas, finalmente, separados por al menos un constante δ (dependiendo únicamente de la Λ_f )." Siento que estas definiciones no son equivalentes. Yo también agradecería enlaces útiles de la literatura.

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Por alguna razón, la terminología de los sistemas dinámicos no está estandarizado en todos, y es interesante desentrañar las diversas definiciones. Un buen libro para mirar es en ecuaciones Diferenciales, sistemas dinámicos, y una introducción al caos. Los autores (Hirsch, Smale, Devaney) están en el centro del campo, y señalan que no hay una definición estándar de incluso "atractor"! (Por no hablar de "atractor extraño", que se utilice sólo una vez, de manera informal.)

En mi opinión, definiciones basadas en la forma de un atractor (como en la primera parte de la Wikipedia) son un poco raras, ya que usted puede tener dinámica caótica en geométricamente simples atractores. Pensar en un mapa con un círculo como un atractor en los que la dinámica son como $\theta \mapsto 2\theta$.

La segunda definición de Wikipedia, que es la dinámica caótica, podría implicar el Tucker definición -, pero que a su vez depende de su definición de caos. Hay un trabajo interesante sobre cómo los distintos criterios de "caos" que se relacionan. Un buen punto de partida podría ser "En Devaney la Definición de Caos" (Banks et al, Americana de Matemáticas. Mensual, 1992).

Answer 2

Respuesta http://www.ams.org/notices/200607/what-is-ruelle.pdf de Ruelle

Answer 3

Como nota, todos los atractores extraños que se han encontrado han tenido una dimensión fractal.

Un atractor extraño es: 1. Un atractor, y 2. se muestra sensible a la dependencia de las condiciones iniciales (es decir, los puntos que inicialmente están cerca en el atractor vuelven exponencialmente separados con el tiempo), lo que es "extraño".

Además de estas dos definiciones, no hay mucho más de forma estándar aceptadas acerca de ellos, sólo hay definiciones en casos específicos. Para tener una dependencia sensible a las condiciones iniciales implica caótico comportamiento, lo que implica el atractor no podría haber un número entero dimensión, justificado por la nota. Esto, sin embargo, no es necesariamente una certeza, así que creo que la página de la Wikipedia está mal decir esto.

El problema es que la teoría del caos es un tema relativamente nuevo, por lo que la terminología no es tan inamovible como algunos otros temas, y todavía hay algunas cosas para trabajar. Como se ha señalado, "todo extraño attracters que se han encontrado han tenido dimensiones fractales", no es decir que todos los atractores extraños que se encuentran tendrá una dimensión fractal, aunque es muy probable.

Answer 4

Estoy de acuerdo con Martin en que no existe una definición aceptada incluso de atractor (me gusta Milnor de papel, "Sobre el concepto de atractor", ver su Scholarpedia entrada http://www.scholarpedia.org/article/Attractor).

Sin embargo, es por lo general (al menos eso creo) dijo que un atractor extraño si se tiene positivos de los exponentes de Lyapunov en lugar de tener dependencia sensible de las condiciones iniciales (ver por ejemplo este artículo de Jaeger donde trabaja en "Extraño no caotic" atractores http://arxiv.org/abs/0709.0269).

En la dimensión fractal mencionado por Padraig, estoy bastante de acuerdo, de hecho, un Anosov diffeomorphism en el toro satisface el atractor condiciones (si uno no está cómodo con el hecho de que todo el colector es un atractor, se puede multiplicar por una fuerte contracción, por lo que un Cr colector de persistirá) y no tiene dimensiones fractales.

Yo también recomiendo el siguiente trabajo de Bonatti, Li y Yang ( http://arxiv.org/abs/0904.4393), que analiza los posibles definiciones de atractores relacionados con el genérico de la dinámica.

Answer 5

Principalmente los atractores extraños son objetos en los que puede construir el esqueleto de la dinámica de un mapa caótico en el caso de un sistemas disipativos. Si el sistema es disipativo y caótico, que generalmente tiene un atractor extraño. La dimensión es no entera.