¿Es cierto que $e^{i\omega}=1$ para cualquier valor de $\omega$ ?

Question

Tengo un problema para entender la forma polar de un número complejo. Tenemos que $$e^{i\omega} = \cos{\omega}+i\sin{\omega}.$$

En particular, si $\omega=2\pi$ entonces $e^{i2\pi} = \cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1$ .

Sin embargo, si lo reescribo así: $$e^{i\omega} = e^{i2\pi\frac{\omega}{2\pi}},$$

entonces

$$e^{i\omega}=1^{\frac{\omega}{2\pi}}=1.$$

¿Significa esto que, para cualquier valor de $\omega$ , $e^{i\omega}$ es siempre igual a 1?

Answer 1

Para los números complejos, no podemos decir en general que $(e^z)^w=e^{zw}$ . Esto se debe al problema de definir de forma única la potencia de un número complejo a otro. En otras palabras, la exponenciación compleja es multivaluada.

Para entender el carácter multivaluado de la exponenciación compleja, a veces creo que es útil distinguir entre $\exp ix$ la función exponencial natural con exponente imaginario, y $e^{ix}$ , la potencia imaginaria multivaluada de un determinado número real (que tiene como rama principal la función exponencial). Esto aclara cómo definimos la operación de elevar un número complejo a una potencia compleja en general.

Definición de la exponenciación compleja:

Para empezar, podemos definir la operación de elevar un número complejo a una potencia de un número natural muy sencillamente como una multiplicación repetida. Así $z^2=zz$ y $z^3=zzz$ etc. Esto nos da una respuesta única para cualquier $z^n$ con $z$ complejo y $n$ natural. (Esto también puede extenderse fácilmente a potencias enteras).

Pero para ir más allá y definir raíces de números complejos (para poder definir potencias racionales, para poder definir potencias reales por continuidad), nos encontramos inmediatamente con el problema de que hay $n$ números complejos $w$ satisfaciendo $w^n=z$ y, a diferencia del caso de los números reales, no existe una elección natural para la "raíz principal" en general. Cualquier elección (la raíz con el menor ángulo desde el eje real positivo, por ejemplo) está destinada a crear una discontinuidad en la función raíz principal para una entrada compleja general.

El exponencial natural:

Pero nosotros puede definir la función exponencial natural para números complejos, porque sólo necesita potencias de números naturales de números complejos para funcionar: $$\exp z=\lim_{n\to \infty}\left(1+{z\over n}\right)^n$$ Esto da un resultado único para cualquier entrada. La forma polar de un número complejo, y la fórmula de Euler, se refieren en realidad al valor de la función exponencial natural - es decir, sólo se mantienen si se utiliza la rama principal de $e^{ix}$ .

Ahora para definir el resultado de cualquier número complejo elevado a la potencia de otro número complejo, definimos uno de los valores de $e^{z}$ para ser la función exponencial natural, y luego pretender que las identidades de exponenciación se mantienen. Así, si $z=r\exp i\theta$ y $w=x+iy$ entonces: $$z^w=(r\exp i\theta)^{x+iy}=e^{(\ln r+i\theta)(x+iy)}=\exp(x\ln r -y\theta)\exp i(y\ln r+x\theta)$$

Multivalores:

¿Por qué se crea una función multivaluada? Porque también es cierto que $z=r\exp i(\theta+2\pi k)$ para cualquier número entero $k$ . Por lo tanto, cualquiera de los siguientes valores también son resultados válidos para $z^w$ : $$z^w=\exp(x\ln r -y(\theta+2\pi k))\exp i(y\ln r+x(\theta+2\pi k))$$ En general, todos estos valores se encuentran en una espiral logarítmica (a menos que el exponente sea real, en cuyo caso todos los valores posibles se encuentran en un círculo, o imaginario, en cuyo caso todos los valores posibles se encuentran en una semirrecta desde el origen). Obsérvese que hay un número finito de valores únicos sólo en el caso de que el exponente sea racional, y un único valor único sólo si el exponente es un número entero.

Así es como se pueden generar contradicciones como $e^{ix}=1$ para todos $x$ utilizando la exponenciación compleja, cambiando entre los distintos resultados posibles. Así, un resultado posible para $1^{x/2\pi}$ es $1$ como esperaríamos para una exponencial real. Esto viene de decir $1=1\exp i0$ . Pero también podemos escribir $1=1\exp i2\pi$ y obtener el resultado $1^{x/2\pi}=e^{ix}$ .