¿Existe una interpretación geométrica del intervalo espaciotemporal?

Question

En el espacio euclidiano, la invariante $s^2 = x^2+ y^2+ z^2$ es igual al cuadrado de la longitud del vector de posición $r$ . Esto se entiende fácilmente y puede representarse geométricamente en un gráfico.

Por otro lado, en el espacio de Minkowski, la cantidad invariante correspondiente se define como el cuadrado del intervalo del espaciotiempo $s^2 = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2$ .

Pregunta: ¿Existe una interpretación geométrica correspondiente? Lo mejor que se me ocurrió es tomar $ict$ como coordenada temporal.**

En segundo lugar, ¿por qué llaman a esta cantidad intervalo?

Answer 1

La interpretación de $s^2$ es bastante sencillo: Dados dos puntos o eventos en el espaciotiempo, es una forma invariante de coordenadas de atribuir una distancia -en el sentido determinado por la métrica de Minkowski- entre ambos. En las fórmulas que has escrito, uno de los dos puntos se considera el origen. En el caso general tenemos

$$s^2_{1,2}=(\vec x_1-\vec x_2)^2-c^2(t_1-t_2)^2$$

Esto es exactamente análogo al caso euclidiano más intuitivo en el que la firma de la métrica es puramente positiva. La palabra "intervalo" es más o menos sinónimo de "distancia entre cosas", por lo que es bastante natural llamar a la distancia entre dos puntos (o eventos) del espaciotiempo el intervalo entre ellos.

Diferentes tipos de separación

Para hacer más explícita la interpretación geométrica, hay que trabajar con la noción de cono de luz . Esta construcción está descrita en cualquier texto sobre relatividad especial, así que si te encuentras insatisfecho después de leer esta respuesta, te sugiero que eches un vistazo a la literatura sobre el tema.

Ahora, empecemos: Si fijamos un punto específico $x$ podemos clasificar todos los demás puntos del espacio de Minkowski, de la siguiente manera: Para cualquier $y\in M$ examinamos $s^2_{x,y}$ y mira su cartel. De esta manera, obtenemos tres tipos diferentes de puntos; cada punto del espacio de Minkowski se encuentra en uno de los siguientes conjuntos:

$$T=\{y\in M \mid s^2_{x,y}<0\}\qquad S=\{y\in M \mid s^2_{x,y}>0\}\qquad L=\{y\in M \mid s^2_{x,y}=0\}$$

Decimos que $y$ es timelike separado de $x$ si es un elemento del primer conjunto, como el espacio separado de $x$ si es un elemento de $S$ y el tercer conjunto es el de como la luz puntos separados (con respecto a $x$ ).

Para entender estas convenciones de nomenclatura, primero observamos que los rayos de luz siempre viajan a la velocidad $v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=c$ de modo que cualquier trayectoria recorrida por un rayo de luz satisface $\vec x^2=c^2t^2$ . En consecuencia, $s^2=0$ a lo largo de las trayectorias recorridas por la luz. Esto explica el último de los tres nombres. En segundo lugar, siempre que $\Delta x_{1,2}^2 := (\vec x_1-\vec x_2)^2$ es mayor que $c^2 \Delta t_{1,2}^2$ vemos que $s_{1,2}^2>0$ por lo que tiene sentido llamar a estos puntos espaciales separados. Una línea de argumentación similar justifica el nombre de "separados por el tiempo".

También me gustaría señalar que, aunque no lo demostraré aquí, los términos separación espacial y temporal se justifican además por el hecho de que no existe ningún marco de referencia (inercial) en el que dos sucesos separados en el tiempo sean simultáneos, mientras que no existe ningún marco de referencia en el que dos sucesos separados en el espacio ocurran en el mismo lugar, por lo que dichos puntos están realmente separados en el tiempo y el espacio, respectivamente. Estas afirmaciones se derivan directamente de las leyes de transformación de Lorentz.

El diagrama del cono de luz

Ahora, ¿cuál es la geometría detrás de todo este montaje? Está bellamente demostrado, por ejemplo, en esta imagen de Wikipedia:

Aquí, el punto $x$ se denomina "observador" y se toma como origen. El conjunto $L$ está representado por el cono azul/verde (doble) que parte del origen. El conjunto $T$ es el conjunto de todos los puntos dentro de el(los) cono(s) de luz, tanto futuro como pasado, mientras que el conjunto $S$ describe todos los puntos fuera del cono.

Causalidad

Por último, señalamos que la noción de cono de luz está íntimamente relacionada con la noción de causalidad : Dado que el cono de luz representa la distancia máxima que la luz podría haber recorrido desde $x$ (en el futuro parte) o la distancia máxima desde la que la luz podría haber llegado a $x$ en el momento del tiempo que hemos elegido como $t=0$ avión, en realidad te dice que nada fuera del cono de luz puede estar en contacto causal con $x$ . Es decir, los eventos pasados que ocurrieron fuera del cono de luz pasado no pueden haber influido en el evento $x$ y el evento $x$ no puede influir en ningún acontecimiento futuro que se encuentre fuera del cono de luz futuro.

Answer 2

Sí, hay una interpretación geométrica.

En primer lugar, observa que puedes hacer un rectángulo cuyos lados sean rayos de luz y que tenga los dos eventos en esquinas opuestas.

Para ver eso, si están separados en el tiempo dispara un rayo de luz desde el anterior al posterior y llegas a ese lugar demasiado pronto, así que deja que siga hasta que llegue a un evento en el que un rayo de luz que vaya en la dirección opuesta pueda llegar al evento posterior. Eso son dos lados. Para el siguiente lado empieza a ir en esa dirección opuesta y cambia a la primera dirección cuando finalmente haya esperado lo suficiente. En el marco en el que estaban en el mismo lugar y con un tiempo T de diferencia, enviaste rayos en dos direcciones opuestas para viajar $D=cT/2$ y luego, simultáneamente, rebotar y volver.

Para los sucesos separados en el espacio, en el marco en el que son simultáneos haz que el punto medio envíe un rayo en las dos direcciones opuestas para que rebote en los dos sucesos y vuelva.

Incluso se puede pensar en ello como un rectángulo común que tiene dos eventos separados espacialmente en dos vértices y dos eventos separados temporalmente en los otros dos.

La separación es igual a dos veces el área de ese rectángulo que tenía los rayos como lados. Y, por supuesto, el área está físicamente relacionada con las lecturas del reloj en una medición de tiempo o distancia por radar. Todo esto sería cierto en la relatividad galileana, pero en la relatividad especial esta área es la misma para dos observadores inerciales cualesquiera. La invariancia proviene del hecho de que dos marcos inerciales en movimiento se ven literalmente correr a la misma velocidad literal. Citaré a Mermin ya que la descripción de los rectángulos de luz la obtuve de Mermin.

Dos observadores inerciales en movimiento relativo deben ver cada uno el reloj del otro funcionando a la misma velocidad. La representación de esta simetría del efecto Doppler en un diagrama espacio-temporal bidimensional revela un hecho geométrico importante: el intervalo al cuadrado entre dos eventos es proporcional al área del rectángulo de líneas de fotones con los eventos en vértices diagonalmente opuestos.

"Space-time intervals as light rectangles" por N. David Mermin en el American Journal of Physics, Volumen 66, Número 12, pp 1077-1080 (1998);  http://dx.doi.org/10.1119/1.19047

Answer 3

Mi respuesta le impondrá inadvertidamente dos prejuicios religiosos míos: que $w = ct$ y que la convención adecuada para el intervalo es $ds^2 = dw^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.$ Lo siento por adelantado.

Antecedentes comunes

En relatividad, decimos que un vector 3D puede ser emparejado con un escalar como cuatro vectores si se transforman según el impulso de Lorentz al cambiar a un nuevo sistema de coordenadas inerciales que se mueve con velocidad $\vec v$ en relación con el anterior. El impulso de Lorentz por $\vec \beta = \vec v/c$ (con $\gamma = 1/\sqrt{1 - \vec\beta\cdot\vec\beta}~$ ) es una transformación sobre 4 vectores $$(\alpha,\; \vec a) ~\mapsto~ \left(\gamma~\left[\alpha - \vec \beta \cdot \vec a\right],\; \vec a + \vec\beta~\left[(\gamma - 1)~ \frac{\vec a\cdot\vec\beta}{\vec\beta\cdot\vec\beta} ~-~ \gamma~\alpha\right]\right),$$ que se puede demostrar que preserva el producto interior $(\alpha, \vec a) * (\beta, \vec b) = \alpha~\beta - \vec a \cdot \vec b.$ Este producto $(*)$ es, por tanto, muy importante para la teoría de la relatividad y, en particular, nos permite convertir los 4 vectores en cantidades inmediatamente relevantes para nosotros. El grupo más amplio que queremos se llama "grupo de Poincaré" y es el grupo generado por las rotaciones del subespacio espacial, las traslaciones en 4D, los aumentos de Lorentz y las inversiones de paridad $(\alpha, \vec a)\mapsto (-\alpha, \pm\vec a);$ son todas las isometrías del $(*)$ producto en el espacio 4D.

Un vector de posición $\vec r = [x, y, z]$ puede ser emparejado con un tiempo $w$ para producir una posición 4 para un "evento repentino", un punto en el espacio-tiempo. Debido a las traslaciones en el grupo de Poincaré, generalmente sólo querremos formar productos de 4 vectores $(*)$ con diferencias en 4 posiciones (¡4 desplazamientos!), no vectores reales de 4 posiciones.

Los conos de luz como burbujas en expansión

Considera un acontecimiento tan repentino: como nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, no puedes saber que ha sucedido realmente hasta que te alcance la luz del acontecimiento. Esta luz sale del suceso como una burbuja en expansión que se mueve a la velocidad $c.$ Lo llamaremos "burbuja de luz", pero el término técnico es "cono de luz que apunta al futuro". Dando un paso atrás y observando el universo en cualquier momento de forma holística: dentro de la burbuja de luz se encuentran todos aquellos puntos del espacio que "han visto" el suceso en algún momento de su pasado; estos puntos del espaciotiempo son, por tanto, el "futuro relativista" del suceso" si lo extendemos sobre todos los tiempos.

Del mismo modo, podemos pensar en el cono de luz del suceso que apunta al pasado, que es el conjunto de todos los rayos de luz que podrían haber incidido en el punto del suceso cuando éste ocurrió: se trata de otra "burbuja en expansión", pero que se expande en la dirección negativa del tiempo. Los puntos dentro de esta burbuja están en el "pasado relativista" del suceso, el suceso pudo verlos.

Esta expansión a gran velocidad $c$ La burbuja está descrita por las coordenadas $$(w - w_0)^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2,$$ así que vemos que el impulso de Lorentz preserva la estructura de estas burbujas de luz, mapeando las burbujas de luz a otras burbujas de luz, pero posiblemente redimensionándolas en algún momento con respecto a las demás o desplazándolas en el espacio. En realidad hace algo aún más interesante debido a su linealidad: preserva su topología . Dados dos sucesos en el espacio-tiempo, o bien una burbuja de luz está "dentro" de la otra (A llegó objetivamente antes que B) y no se cruzan: o bien ambas "colisionarán" eventualmente al expandirse. En el primer caso, hay un marco de referencia que visita el suceso A y luego continúa inercialmente para visitar el suceso B, por lo que en ese marco ambos suceden "aquí mismo" y, por tanto, no están objetivamente separados en el espacio. Sin embargo, como nadie puede ir más rápido que $c$ no hay forma de que esta nave espacial salga de la burbuja de luz, por lo que el caso de "colisión" significa que A y B están objetivamente en lugares diferentes : no existe un marco de referencia que visite inercialmente a ambos.

Sin embargo, el impulso de Lorentz puede cambiar el tamaño de las dos burbujas que colisionan para que tengan el mismo tamaño. En este marco de referencia, por tanto, ambos sucesos fueron simultáneos: los sucesos ya no están objetivamente separados en el espacio. Así que los sucesos pueden estar objetivamente separados en el espacio, objetivamente separados en el tiempo, o posiblemente "nulamente separados" si están en la frontera infinitamente delgada entre ambos (una burbuja está "dentro" de la otra pero hacen contacto en un punto todo el tiempo; ningún observador real podría haber estado en ambas; éstas están objetivamente separadas en el espacio y en el tiempo pero esas separaciones pueden hacerse arbitrariamente pequeñas).

El intervalo espaciotemporal como tiempo propio, distancia propia entre eventos.

Todos los movimientos de las partículas se describen pasando de un evento a su futuro relativista, por lo que el 4-desplazamiento $R$ entre ellos satisface $R * R > 0.$ En el caso especial de que la partícula realice este movimiento inercialmente tiene un marco de referencia inercial en el que estos dos puntos del espaciotiempo se describen como $(w_0, \vec 0)$ y $(w_1, \vec 0)$ y por lo tanto $R * R = (w_1 - w_0)^2.$ Llamamos a esta diferencia de tiempo $w_1 - w_0$ el tiempo adecuado $\tau$ entre los dos eventos: es el tiempo medido por las coordenadas que piensan que ambos eventos ocurrieron en el mismo lugar. Es el tiempo mínimo entre los dos eventos; debido a la estructura de la transformación de Lorentz, cualquier otro marco de referencia verá que el tiempo se hace más grande para preservar $\Delta w^2 - \Delta r^2 = \Delta w^2 (1 - \beta^2) = \tau^2$ para que, por lo general, se vea $\Delta w = \gamma~\tau.$

Si dos eventos están objetivamente separados en el espacio, entonces tienen un desplazamiento de 4 $R$ satisfaciendo $R * R < 0.$ En este caso, $\ell = \sqrt{-R * R} = |\vec r_1 - \vec r_0|$ es el distancia adecuada entre las posiciones de los dos eventos medidos por alguien que vio ambos simultáneamente; otras personas verán en general una distancia mayor entre el lugar donde ocurrieron estos dos eventos.

("Más grande" puede sonar a impar si se está acostumbrado a la contracción de la longitud, pero también se puede derivar la contracción de la longitud de la transformada de Lorentz. Se trata de las dos líneas del mundo $(w, \vec 0)$ y $(w, x~\hat \beta)$ donde $\hat \beta$ es un vector unitario en la dirección que vamos a impulsar. Esto se convierte en las líneas inclinadas $(\gamma~w, -\gamma~\vec\beta~w)$ y $(\gamma (w - \beta~x),\;\hat \beta~[\gamma~x - \gamma~\beta~w]);$ forzar a ambos a tener un componente temporal 0 significa que el primero es $(0, 0)$ mientras que el segundo es $(0,\hat\beta~\gamma~x[1 - \beta^2]) = (0, \hat\beta~x/\gamma).$ La discrepancia clave que hay que notar aquí es que en el caso de la contracción de la longitud estamos hablando de las distancias entre dos cosas "al mismo tiempo", mientras que cuando potenciamos la "distancia propia" anterior los acontecimientos se producen de repente en dos momentos diferentes).

Answer 4

En el espacio euclidiano, la invariante $s^2=x^2+y^2+z^2$ es igual a los cuadrados de la longitud del vector de posición $r$ .

" Longitud ", o "distancia entre puntos", es una noción independiente de los coordenadas (invariante). En el espacio euclidiano tridimensional, los puntos son planos entre sí; es decir: considerando cinco puntos cualesquiera, $\mathsf A$ , $\mathsf B$ , $\mathsf J$ , $\mathsf K$ , $\mathsf Q$ y dados los diez valores de distancia por pares entre ellos, $d[~\mathsf A, \mathsf B~]$ , $d[~\mathsf A, \mathsf J~]$ ..., $d[~\mathsf K, \mathsf Q~]$ entonces su (normalizado) Determinante de Cayley-Menger desaparece:

0 = $ \begin{array}{|cccccc|} 0 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & 1 & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \end{array}$ .

Si las tuplas de coordenadas $\{ x, y, z \} \in \mathbf R^3$ se asignan a todos los puntos de este espacio de forma que para dos puntos cualesquiera $\mathsf A$ y $\mathsf B$

$$s^2[~\mathsf A, \mathsf B~] := (d[~\mathsf A, \mathsf B~])^2 = (x[~\mathsf B~] - x[~\mathsf A~])^2 + (y[~\mathsf B~] - y[~\mathsf A~])^2 + (z[~\mathsf B~] - z[~\mathsf A~])^2,$$

entonces dicha asignación de coordenadas se denomina "coordenadas cartesianas (del espacio euclidiano tridimensional)".

Por otro lado, en el espacio de Minkowski, la cantidad invariante correspondiente se define como el cuadrado del intervalo del espaciotiempo $s^2=x^2+y^2+z^2 - c^2 t^2$

Pues bien, esto (o tal vez alguna variante que implique ciertas diferencias entre los valores de las coordenadas) puede tomarse efectivamente como una definición, en la medida en que el espacio de Minkowski se basa en consideraciones de relaciones algebraicas entre ciertas tuplas de coordenadas, más que en relaciones geométricas. En consecuencia, podemos preguntarnos por las interpretaciones de la cantidad " $s^2$ " en términos de geometría y física.

Pregunta: ¿Existe una interpretación geométrica correspondiente?

Claro que sí:

• un valor positivo de $s^2$ (entre dos eventos adecuados distintos que se consideren, digamos $\mathsf A$ y $\mathsf B$ ) se interpreta en términos de distancia entre dos participantes cuando uno de ellos ha tomado parte en el evento $\mathsf A$ y el otro había participado en el evento $\mathsf B$ específicamente como el cuadrado de la distancia mínima (o en caso de que no exista un mínimo, el infimum de todas las distancias ) entre todas esas parejas de participantes;

• un valor negativo $s^2$ (entre dos eventos adecuados distintos que se consideren, digamos $\mathsf J$ y $\mathsf K$ ) se interpreta en términos de duración de un participante entre haber tomado parte (primero) en uno de estos dos eventos, y (después) en el otro; específicamente como (" $(-1)~c^2$ " veces) el cuadrado de la duración máxima (o en caso de que no exista un máximo, el supremum de todas las duraciones ) entre todos esos participantes;

• un valor cero $s^2$ (entre dos eventos adecuados distintos que se consideren, digamos $\mathsf P$ y $\mathsf Q$ ) se interpreta como el " señal de frente "de un evento que ha llegado al otro evento, y

• para cualquier evento: $s^2[~\mathsf A, \mathsf A~] = 0$ También.

En segundo lugar, ¿por qué llaman a esta cantidad intervalo?

La palabra " intervalo " está obviamente relacionado con la "separación (espacial o temporal)". Aparentemente, las personas que aplicaron este nombre a la cantidad $s^2$ (en lugar de la cantidad " $\text{sgn}[~s^2~]~\sqrt{\text{sgn}[~s^2~]~s^2}$ ") no se molestaron especialmente por $s^2$ referidos a los cuadrados de los valores de distancia o duración.