Los funtores adjuntos preservan los (co)productos

Question

Dejemos que $F:\mathscr{A} \to \mathscr{C}$ y $G:\mathscr{C} \to \mathscr{A}$ sea un par adjunto de funtores.

Estoy tratando de mostrar $G$ conserva productos y $F$ conserva los coproductos.

Así que para empezar tenemos una biyección

$\tau_{AC}:\operatorname{Hom}(FA,C) \to \operatorname{Hom}(A,GC)$

así como el diagrama de naturalidad normal para ambas variables.

Basta con demostrar sólo un par de la cuestión - el otro seguirá la forma de dualizar la prueba (o supongo que trabajando en las categorías opuestas o algún otro buen truco).

Decidí intentar mostrar que $G$ conserva productos. Así que tenemos el diagrama habitual para el producto: es decir, dado $C_1,C_2 \in \mathscr{C}$ existen morfismos $g_1:C_1 \times C_2 \to C_1$ y $g_2:C_1 \times C_2 \to C_2$ tal que para cualquier otro mapa $X \to C_i,i=1,2$ hay un mapa único $\theta:X \to C_1 \times C_2$ .

Ahora puedo aplicar inmediatamente el functor $G$ a esto. Esto no da lo que quiero. En particular, da $G(C_1 \times C_2)$ en el diagrama universal habitual. Para resolver el problema tenemos que sustituirlo por $G(C_1) \times G(C_2)$ .

He jugado un buen rato sin éxito. Evidentemente, tengo que utilizar la naturalidad. Así que dado $g:C \to C'$ en $\mathscr{C}$ tenemos que

$(Gg)_* \tau_{AC} = \tau_{AC'} g_*$ .

donde $$g_*:\operatorname{Hom}(FA,C) \to \operatorname{Hom}(FA,C')$$ y $$(Gg)_*: \operatorname{Hom}(A,GC) \to \operatorname{Hom}(A,GC').$$

Estaba pensando que el camino a seguir sería usar los mapas $g_i: C_1 \times C_2 \to C_i$ y jugar con el diagrama de transformación natural para conseguir algo bonito, pero sigo sin conseguir nada.

¿Alguna pista?

(Añadiré que soy consciente de que existe un resultado más general que $F$ preserva los colímetros y $G$ conserva los límites, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con ellos como para trabajar con ellos todavía).

Answer 1

¿Sabe usted que $\hom(X,-)$ conserva productos, ¿no es así? Entonces, puedes usar la cadena de isomorfismo

$\hom(A,G(C_1\times C_2))\cong\hom(F(A),C_1\times C_2)\cong$

$\cong\hom(F(A),C_1)\times\hom(F(A),C_2)\cong$

$\cong\hom(A,G(C_1))\times \hom(A,G(C_2))\cong \hom(A,G(C_1)\times G(C_2))$

Ahora bien, si $\hom(A,X)\cong \hom(A,Y)$ para cualquier $A$ entonces $X\cong Y$ .

Si no es así, creo que demostrar que $\hom(-,-)$ conserva los productos y convertir los coproductos en productos podría ser más útil y fácil.

Answer 2

Estuviste cerca, pero te faltó el punto de la universalidad, así que permíteme hacer el argumento que tenías en mente, en lugar de uno diferente (la ruta elegida por tetrapharmakon). Estoy de acuerdo en que el argumento de tetrapharmakon es el camino eficiente, pero creo que es un ejercicio que vale la pena hacer sin apelar implícitamente a Yoneda. Más aún: Seguir explícitamente los mapas a través de todos los isomorfismos naturales en la respuesta de tetrapharmakon es bastante doloroso (al menos para mí), así que un argumento directo que implique sólo las definiciones me hace sentir más cómodo.

Permítanme empezar desde cero (porque soy viejo y rígido, soy incapaz de trabajar con $F$ y $G$ en las adjunciones, así que, por favor, tened paciencia y dejadme sustituirlas por las letras más descriptivas  $L$ y  $R$ ).

Así que, se nos da una adjunción $L : \mathscr{A} \longleftrightarrow \mathscr{C} : R$ .

Nos dan $C,D \in \mathscr{C}$ y un diagrama de productos $C\;\xleftarrow{p_C}\; C \times D\; \xrightarrow{p_D}\; D$ . Aplicando el adjunto derecho $R$ obtenemos el diagrama $R(C)\; \xleftarrow{R(p_D)}\; R(C \times D) \;\xrightarrow{R(p_D)}\;R(D)$ .

Queremos ver que este diagrama es un producto de $R(C)$ y $R(D)$ . Lo único que tenemos que hacer es comprobar la propiedad universal .

Por lo tanto, demos morfismos $R(C)\; \xleftarrow{a_C} \; A \; \xrightarrow{a_D} \; R(D)$ y queremos demostrar que existe un morfismo único $d:A \to R(C \times D)$ tal que $R(p_C)d = a_C$ y $R(p_D)d = a_D$ . Por contigüidad $$\operatorname{Hom}_{\mathscr{C}}(LA, C \times D) = \operatorname{Hom}_{\mathscr{A}}(A,R(C\times D)),$$ para que podamos traducir el problema en un problema en $\mathscr{C}$ aplicando $L$ . Así, consideramos el diagrama $LR(C) \; \xleftarrow{L(a_C)}\; L(A) \;\xrightarrow{L(a_D)}\;LR(D)$ . No es exactamente donde queremos estar, pero recordando la identidades triangulares para el consejo $\varepsilon: LR \Rightarrow 1_\mathscr{C}$ y la unidad $\eta:1_{\mathcal{A}} \Rightarrow RL$ nos lleva a $$C \; \xleftarrow{\varepsilon_C L(a_C)}\; L(A)\;\xrightarrow{\varepsilon_D L(a_D)}\;D.$$ Ahora, aplicando la propiedad universal del diagrama producto con el que empezamos, encontramos finalmente un morfismo único $e:L(A) \to C \times D$ tal que $p_Ce = \varepsilon_C L(a_C)$ y $p_De= \varepsilon_D L(a_D)$ .

Ahora la composición $d$ de $A \; \xrightarrow{\eta_{A}}\; RL(A)\;\xrightarrow{R(e)} \; R(C \times D)$ es el morfismo que buscamos. En efecto, dado que $\eta : 1_{\mathcal{A}} \Rightarrow RL$ es una transformación natural, tenemos el diagrama conmutativo

$$\begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{a_C} & R(C) \\ \downarrow{\scriptstyle \eta_A} & & \downarrow{\scriptstyle \eta_{RC}} \\ RL(A) & \xrightarrow{RL(a_C)} & RLR(C) \end{array}$$

y combinando esto con la identidad triangular $R(\varepsilon_C)\eta_{RC} = 1_{RC}$ obtenemos

$$R(p_C)d = R(p_C)R(e)\eta_A = R(p_Ce) \eta_A = R(\varepsilon_C L(a_C)) \eta_A = R(\varepsilon_C) RL(a_C) \eta_A = R(\varepsilon_C) \eta_{RC} a_C = a_C$$

y de manera similar $R(p_D)d = a_D$ . Le dejo a usted que se convenza de la singularidad de $d$ .

Por último, permítanme subrayar que exactamente el mismo argumento trabaja con límites generales en lugar de productos binarios:

Dado un diagrama $D: \mathscr{D} \to \mathscr{C}$ con límite $C = \varprojlim_{\mathscr{D}} D$ (diagrama constante) y el morfismo universal $u: C \Rightarrow D$ el morfismo $R(u): R(C) \Rightarrow R \circ D$ muestra $R(C)$ como $\varprojlim_{\mathscr{D}} R\circ D$ . Lo único que hay que comprobar es que se da cualquier diagrama $A: \mathscr{D} \to \mathscr{A}$ con el morfismo $a: A \Rightarrow R \circ D$ el morfismo $a$ factores de forma única como $a = R(u)d$ para un morfismo $d: A \Rightarrow R(C)$ . El morfismo $d$ se obtiene como $R(e) \eta A$ , donde $e: L A \Rightarrow C$ se obtiene de la universalidad de $u$ aplicado a $\varepsilon LA$ .

Como es habitual en la teoría de las categorías, todo esto es bastante tautológico (pero hay que reconocer que es confuso a primera vista).

Answer 3

Supongamos que tenemos una adjunción como la de su pregunta $F \dashv G $ y un producto $A\times B$ con proyecciones $\pi_1 : A\times B\rightarrow A$ y $\pi_1 : A\times B\rightarrow B$ . Si queremos mostrar $G$ conserva el producto $A\times B$ sólo tenemos que demostrar que $G(A\times B)$ con los mapas de las proyecciones $G(\pi_1) : G(A\times B)\rightarrow G(A)$ y $G(\pi_1) : G(A\times B)\rightarrow G(B)$ tiene la propiedad universal de que el producto $G(A) \times G(B)$ debe tener (si existe) y por unicidad son los mismos.

Mapas dados $c_1 : C\rightarrow G(A)$ y $ c_2 : C\rightarrow G(B)$ a través de la adjunción se obtienen los mapas $\bar c_1 :F(C)\rightarrow A$ y $\bar c_2 :F(C)\rightarrow B$ que, por la propiedad universal de $A\times B$ inducen un mapa único $\bar u:F(C)\to A\times B$ tal que $\bar c_i = \pi_i \bar u$ (i = 1,2). Volviendo a través de la adjunción obtenemos un mapa $u: C \to G(A \times B)$ tal que $c_i = G(\pi_i) u$ (i = 1,2) por la naturalidad de la adjunción, y es único entre tales mapas ya que la adjunción es una biyección de hom-sets por lo que $G(A\times B)$ tiene la propiedad universal de que el producto $G(A)\times G(B)$ debe tener tan $G(A\times B) = G(A)\times G(B)$ por lo que $G$ conserva los productos que existen en $\mathcal C$ . Obsérvese que este argumento se generaliza fácilmente para demostrar que $G$ conserva todos los límites que existen en $\mathcal C$