Demostrando $\mathbb{C}[U,V,W]/(V^2-UW) \cong \mathbb{C}[X,XY,XY^2].$

Question

Deje $\phi$ $\mathbb{C}$ álgebra homomorphism de $\mathbb{C}[U,V,W] \to \mathbb{C}[X,XY,XY^2]$ que envía a $U$ a $X,$ $V$ a $XY$ $W$ $XY^2.$Deje $I:= (V^2-UW).$ estoy tratando de mostrar que $I$ es el núcleo de $\phi.$ La dirección difícil es $\ker \phi \subseteq I.$

Supongamos $p(U,V,W)\in \ker \phi,$ $p(X,XY,XY^2)$ es el polinomio cero. Necesito mostrar $p(U,V,W)\in I.$ tenga en cuenta que por siempre escribir $V^2=UW + (V^2-UW)$ podemos escribir $p(U,V,W) = g(U,W) + h(U,W)V +q(U,V,W) (V^2-UW).$ por lo Tanto el problema se reduce a mostrar que la si $g(X,XY^2) + h(X,XY^2) XY=0$ $g(U,W)+h(U,W)V\in I.$ alguien me Puede ayudar con eso?

Answer 1

Básicamente, usted desea mostrar que $k[U,V,W]/(V^2-UW) \to k[X,Y]$, $U \mapsto X$, $V \mapsto XY$, $W \mapsto XY^2$ es inyectiva. Pero los elementos de $k[U,V,W]/(V^2-UW) \cong k[U,W]\bigl[V\bigr]/(V^2-UW)$ son fáciles de describir: Se puede ser escrito como $f + V g$ para algunos (único) $f,g \in k[U,W]$. Si un elemento se encuentra en el núcleo, tenemos $f(X,XY^2) + XY g(X,XY^2)=0$$k[X,Y]$. En el primer sumando los exponentes de la $Y$ son incluso, en el segundo son impares. De ello se desprende que $f(X,XY^2)=0$ y $g(X,XY^2)=0$. Si $f=\sum_{ij} a_{ij} U^i V^j$,$0=f(X,XY^2)=\sum_{ij} a_{ij} X^{i+j} Y^{2j}$, y estos monomials son pares distintos mirando a $Y$ nuevo, de modo que $a_{ij}=0$ todos los $i,j$, es decir,$f=0$. Del mismo modo obtenemos $g=0$.

Answer 2

Sugerencia: no es posible Que no sea cero $g(U,W)+Vh(U,W)\in (V^2-UW)$, ya que todos los múltiplos de $V^2-UW$ tiene exponente, al menos,$2$$V$. Así que usted realmente necesita para demostrar que si $g(X,XY^2) + XY h(X,XY^2) = 0$$g(U,W)=0$$h(U,W)=0$.

Básicamente, la prueba va en dos pasos. Primera prueba:

$$g(X,XY^2)+XYh(X,XY^2) = 0\implies g(X,XY^2),h(X,XY^2)=0$$ A continuación, mostrar: $$g(X,XY^2)=0\implies g(U,W)=0$$