Conjunto no medible

Question

Supongamos que definimos una relación de equivalencia en $[0,1)$ diciendo que $x \sim y$ iff $x-y$ es racional. Dejemos que $N \subset [0,1)$ que contiene exactamente un miembro de cada clase de equivalencia. También deja $R = \mathbb {Q} \cap [0,1)$ y para cada uno $r \in R$ , $$N_{r} = \{x+r: x \in N \cap [0,1-r) \} \cup \{x+r-1: x \in N \cap [1-r,1) \}$$

¿Desea $N$ consisten en todos los números racionales en $[0,1)$ ? ¿Cuál es la motivación para definir $N_r$ ?

Fuente: Análisis real: Técnicas modernas y sus aplicaciones por Folland

Answer 1

No, $N$ no contiene todos los números racionales en $[0,1)$ . De hecho, contiene uno y sólo uno número racional de $[0,1)$ (aunque no sabemos cuál, ya que $N$ se define de forma no constructiva a través del Axioma de la Elección).

Como ya se ha mencionado, $N$ contiene exactamente un miembro de cada clase de equivalencia en $ \sim $ . Eso significa que:

i) Por cada $x \in [0,1)$ existe $y \in N$ de tal manera que $x \sim y$ es decir, de tal manera que $x-y \in\mathbb {Q}$ y

ii) Por cada $x,y \in N$ si $x \sim y$ (es decir, si $x-y \in\mathbb {Q}$ ), entonces $x=y$ .

En particular, sabemos que existe $x \in N$ de tal manera que $0 \sim x$ ya que esto requiere que $-x \in\mathbb {Q}$ eso significa que $x$ es racional. Pero si $y \in N$ es racional, entonces $x-y \in\mathbb {Q}$ Por lo tanto $x \sim y$ así que por (ii) concluimos que $x=y$ . Así que $N$ contiene una y sólo una racional de $[0,1)$ .

La motivación para la definición de $N_r$ es que es una traducción "envuelta" de $N$ por $r$ . Es decir, tomar cada número en $N$ agregar $r$ a ella; si todavía está en $[0,1)$ manténgalo ahí; de lo contrario, desplácelo de vuelta por $1$ (para que caiga dentro $[0,1)$ ). Estas son sólo traducciones racionales de $N$ ajustado para asegurar que se mantengan en el intervalo.

La razón por la que quieres el $N_r$ es que usted demostrará que estas copias countably muchas copias traducidas de $N$ "cubrirán" un intervalo no trivial; están desarticulados por pares (es decir, si $r \neq s$ Entonces $N_r \cap N_s= \emptyset $ ), por lo que el hecho de que muchos conjuntos desarticulados cubran un intervalo no trivial implicará que, si son todos medibles, entonces su medida debe ser positiva (por $ \sigma $ -adadición). Ya que todos son sólo traducciones del mismo conjunto $N$ cada uno de ellos es medible si y sólo si $N$ es medible, y todos tendrán la misma medida. Pero entonces la mensurabilidad de $N$ implicaría que la unión de las muchas copias traducidas desarticuladas de $N$ tendrá una medida infinita, lo que también será imposible (ya que todos ellos están contenidos en $[0,1)$ así que por monotonicidad, su medida, si existe, será finita). Estas cosas juntas implicarán que $N$ no puede ser medible.

(En cuanto a cómo se le ocurriría a uno en primer lugar, tendrás que preguntarle a Vitali...)

Answer 2

$[0,1)= \cup N_r$ cada uno $N_r$ es una copia traducida de $N$ (la definición es para que se envuelva para permanecer en $[0,1)$ ). Así que si $N$ (y por lo tanto $N_r$ ) es medible entonces $[0,1)$ tiene medida $0$ si la medida de $N$ es cero, o medir el infinito si $N$ tiene alguna medida distinta de cero (asumiendo la invariabilidad de la traducción, etc.).

Answer 3

Una mejor manera de establecer la definición sería $$ N_r = \{x + r \bmod {1} : x \in N\}. $$ Desde $N$ contiene exactamente un miembro de cada clase de equivalencia, los conjuntos $$ N_r, \, r \in \mathbb {Q} \cap [0,1) $$ partición $[0,1)$ .

Si $x,y \in \mathbb {Q}$ entonces $x-y \in \mathbb {Q}$ y así $N$ no puede contener ambos $x$ y $y$ . En otras palabras, $N$ contiene como mucho un racional. Por otro lado, los racionales en $[0,1)$ forman una clase de equivalencia (mismo argumento), y así $N$ contiene exactamente una racionalidad.

Answer 4

No es cierto que $N=[0,1) \cap\mathbb {Q}$ porque, de hecho, cualquier dos $a,b \in\mathbb {Q}$ (independientemente de si están en $[0,1)$ o no) son equivalentes en virtud de $ \sim $ porque $a-b \in\mathbb {Q}$ y $N$ consiste en una elección de representante para cada clase de equivalencia de $ \sim $ así que $N$ sólo tendrá un número racional en él. De hecho, $N$ no se define explícitamente; para cada clase de equivalencia de $ \sim $ tenemos que elegir un único representante en $[0,1)$ y luego el conjunto de estos representantes es $N$ pero la elección no es única. He aquí una analogía: si tuviéramos que elegir un representante de cada clase de equivalencia de $ \equiv\pmod 4$ en $[0,67)$ podríamos elegir $\{0,1,2,3\}$ o $\{4,9,18,63\}$ o muchas otras cosas.

En cuanto a la motivación de la $N_r$ No estoy seguro.

Answer 5

En resumen, la construcción se utiliza para mostrar, por contraejemplo, que no existe una medida de traducción-invariante, coadyuvante que pueda definirse en cada subconjunto de los reales; se asume la monotonicidad y la traducción-invariante, y se llega a una contradicción. La construcción le da una colección countably-infinita de subconjuntos desarticulados (la desarticulación es necesaria para la aditividad), todos de igual medida, ya que todos los conjuntos son traducciones de un conjunto (esto utiliza la traducción-invariante), de modo que la medida total $m(N)$ es la suma de la medida de las traducciones, y luego $m(N)= \lim_ {n \rightarrow \infty }n \cdot m(t_i)$ donde $t_i$ es una traducción. Tus opciones entonces son que $m(t_i)$ no es cero, y entonces $m(N)= \infty $ o puede asignar la medida cero a cada uno, es decir, $m(t_i)=0$ . Entonces, habiendo utilizado las dos condiciones anteriores, como dijo Arturo, la monotonicidad se utiliza en uno de los casos (el que $m(t_i) \neq0 $ llegando a la contradicción de que un subconjunto (medible) de $[0,1]$ tiene una medida infinita (y, en particular, tiene una medida mayor que $1=m([0,1])$ ), es decir, asumiendo la aditividad contable y la variación de la traducción de la medida, se ha construido un subconjunto de $[0,1]$ que viola la monotonicidad.

Tal vez una reescritura ayude a otros lectores; sólo espero que si consigo otro Couric, se explique/justifique.