Encontrar el valor.
$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $[(1 + 1/n^2)(1 + 2^2/n^2)^2 \cdots (1 + n^2/n^2)^n]^{1/n}$
He probado. Pero yo no se pudo establecer ninguna adecuado de la forma adecuada para que yo pueda aplicar la definición.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que podemos tomar $\ln$ y escribir como:
$$\ln(L) = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n}i \ln(1+(\tfrac{i}{n})^2)\right) $$
Tomamos nota de que no se puede escribir en la forma de suma de Riemann como hay un $n$ que falta en el denominador.
Como Jean recomienda, había sido $1/n^2$ en el poder, podríamos haber escrito como:
$$\ln(L) = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n} \tfrac{i}{n} \ln(1+(\tfrac{i}{n})^2)\right)= \int_{0}^{1} x\ln(1+x^2)$$
Donde podemos calcular la última integral como $$ \frac{(\ln(x^2+1))(x^2+1)-x^2}{2} |_{0}^{1} = \frac{\ln(4)-1}{2}$$
o que $L = \exp\left(\tfrac{\ln(4)-1}{2}\right)$. Pero nuestra suma original diverge.
