Pregunta sobre el theorem(s) de representación de Riesz

Question

Estoy mirando los dos aparentemente mismo (pero no toda) de representación de Riesz teoremas:

(Wikipedia) Deje $X$ ser localmente compacto Hausdorff espacio. Deje $C_c(X)$ ser el espacio de forma compacta compatible funciones continuas. A continuación, una positiva continua lineal funcional $\Lambda : C_c(X) \to \mathbb R$ puede ser representado como una integral que es, $\Lambda$ corresponde a un (único) de medida $\mu$ (regular y Borel) tal que $\Lambda (f) = \int_X f d \mu$ todos los $f \in C_c(X)$.

(Mis apuntes de clase) Vamos a $X$ ser localmente compacto, $\sigma$-espacio métrico compacto. A continuación, una lineal positiva funcional $\Lambda : C_c(X) \to \mathbb R$ puede ser representada por un (único) de medida $\mu$ (localmente finita y positiva) de forma tal que $\Lambda (f) = \int_X f d \mu$ todos los $f \in C_c(X)$.

Puedo ver que la métrica implica Hausdorff. Pero me resulta imposible recordar todas las condiciones, es decir, aquellos sobre los $X$ (sólo localmente compacto o $\sigma$-compacto así?) y a aquellos que la medida (seguramente cada medida es positiva por definición, pero que requieren ser Borel regular y parece ser más fuerte que localmente finito).

Mi pregunta(s): Cual de estas dos versiones es más general? O son la misma? Y ¿cómo puedo distinguirlos, que es, recuerda que la versión con la que los supuestos sobre el espacio y la medida?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Creo que la primera versión es más general. Claramente más débil de la hipótesis, tal como se anotó. En cuanto a las conclusiones, que tanto el rendimiento de las medidas que corresponden a la funcional exactamente de la misma manera, y son únicos, los cuales se describen de la siguiente manera:

1. Regular y Borel.
2. Localmente finita y positiva.

En el primer caso, creo que podemos asumir con seguridad que "positiva" es implícito (porque casi siempre es, si no se indica lo contrario, y porque de lo contrario el resultado funcional no sería positivo!). Del mismo modo, si la medida no fue localmente finito, entonces creo que el resultado de la "funcional" no sería acotado (o incluso finito), por lo que también podemos suponer que, implícitamente, de modo que la primera versión no ofrece nada más con los supuestos de la segunda.

En cuanto al segundo caso, yo creo que también hay supuestos implícitos de la regularidad y Borelness, porque de lo contrario, la medida podría ser probable para ser único, porque la primera versión que ya tenemos una medida de Borel, sino una medida de Borel siempre (salvo casos triviales, por ejemplo, cuando cada conjunto es Borel) se extiende a un mayor $\sigma$-campo, desafiando a la singularidad (recuerde que la integral de funciones continuas sólo depende de la Borel parte de la medida), y cualquier finito medida de Borel en un espacio métrico es ya regular, y esto debe extenderse a $\sigma$-finito en la manera obvia. (Tenga en cuenta que localmente finito medida en un $\sigma$-espacio compacto es $\sigma$-finito.)

En resumen, a menos que he hecho algunos grandes errores:

1. La primera es el teorema más general, ya que se aplica a más de los casos.
2. Con la hipótesis del segundo teorema, que son igualmente fuertes.

Answer 2

Para mi gusto, los adjetivos en una situación como esta debe ser re-lectura en términos de lo que logran (o no) en términos de la meta en la mano.

Que es localmente compacto Hausdorff asegura una buena fuente de continua, compacta-funciones soportadas, por Urysohn del lexema. (De lo contrario, podría ser demasiado par de funciones continuas a la aproximación de funciones características de los conjuntos compactos.)

El sigma-compacidad (en mi mundo) completamente razonable, y evita los distintos "patologías", tanto en términos de exterior regularidad y medidas del producto de los espacios. No está claro de antemano que es necesario, pero... es. (La interacción de estos adjetivos en la métrica del espacio es una fuente de muchos de los ejercicios de la tarea.)

Y el interior y exterior de la regularidad, y "Borel"-ness, son ciertamente deseable, y sorprendente en un contexto en el que la supuesta medida está fuertemente relacionada con funciones continuas (suponiendo que el espacio es bastante bueno de lo que no hay patologías!)