Geometría del número complejo

Question

Me cuesta entender la geometría del número complejo. Mi profesor mostró estos dos ejemplos en clase y dice que es muy fácil reconocer su geometría, pero a mí no me parece nada fácil.

Estos son los ejemplos:

a) $$z=\frac{a+dx+cx^2+bcx +i(ax+dx^2 -cx+b)}{1+x^2}$$

b) $$z=\frac{a-cx+i(b-dx)}{1-x}$$

donde $a,b,c,d$ son fijos y $x$ es un número real.

En la parte a), algunos de mis compañeros dicen que es un círculo, pero no sé cómo pueden ver eso. Me pregunto si alguien podría explicármelo, por favor.

Answer 1

Tenemos aquí descripciones paramétricas de curvas en un $u$ , $v$ sistema de coordenadas.

Por ejemplo, en el caso de a), si $a=1$ , $b=2$ , $c=3$ , $d=4$ y $0\le x\le10000$ entonces tenemos:

Los números complejos no juegan un papel importante en este caso. Se puede decir simplemente que $$u(x)=\frac{a+dx+cx^2+bcx}{1+x^2}$$ y $$v(x)=\frac{ax+dx^2 -cx+b}{1+x^2}$$ donde $x$ es el parámetro y $u$ , $v$ son las coordenadas.