Uso de "mensurable" en la función mensurable

Question

¿Por qué las funciones medibles se llaman "medibles"? ¿Qué es exactamente lo que se está "midiendo"?

Para los conjuntos medibles, puedo entender intuitivamente que la medida del conjunto "mide" cuán grande es el conjunto.

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

1. ¿Qué hay de "real" en los números reales?

2. ¿Por qué un conjunto abierto se llama "abierto"?

3. ¿Por qué las secuencias de Cauchy se llaman "Cauchy"?

4. ¿Por qué las funciones de Lipschitz se llaman "Lipschitz"?

5. ¿Por qué es $e$ llamado "e"?

6. ¿Por qué los conjuntos compactos se llaman "compactos"?

7. ¿Por qué las secuencias monótonas se llaman "monótonas"? [monótono=hablar o pronunciado con un tono o una entonación que no cambia].

8. ¿Por qué algunos espacios métricos son "separables"?

9. ¿Por qué algunos sets están "en barril"?

10. ¿Por qué decimos que algunos conjuntos son "G-delta" y otros son "F-sigma"?

Podría seguir, ... ¡pero no lo haré! La respuesta es siempre histórico . Si la elección de la palabra tiene algún sentido en el contexto, entonces tienes suerte. En inglés mensurable="capaz de ser medido" pero los matemáticos no están obligados a elegir un lenguaje que tenga sentido en la lengua vernácula.

Lebesgue probablemente tomó el lenguaje de la anterior teoría de medida de Peano-Jordania. Desde que llamó, tanto los conjuntos como las funciones, medible estamos atascados con el lenguaje. Asocie el término directamente con la definición real, no con ningún significado intuitivo o sugestivo.

Para los otros en esta lista, algunos fueron nombrados así por matemáticos famosos. El de "conjunto abierto" es más extraño: primero definieron lo que era un conjunto cerrado y declararon que "abierto" significaba "no cerrado" [como las puertas y ventanas]. Con el tiempo, el término adquirió su significado actual, que es muy diferente de "no cerrado" [para consternación de algunos de mis estudiantes].

La explicación de "G-delta" y "F-sigma" es curiosa: en francés cerrado es ferme y la suma es somme por lo tanto el $F_ \sigma$ . En alemán, las palabras para abrir/intersección son Gebiet y Durchshnitt y es por eso que usamos $G_ \delta$ .

En resumen, si te apetece hacer este tipo de preguntas, ¡hazlas! Pero prepárese para una respuesta completamente insatisfactoria que no es otra cosa que "así es como siempre los llamamos".

Answer 2

Las funciones medibles conservan la estructura de la sigma-álgebra, es decir, los conjuntos medibles.

Answer 3

Para una función medible $f$ podemos medir lo que es $\{f \leq 1\}$ o lo que es $\{0.5 \leq f \leq 12\}$ etc.