La solución de la desigualdad de las funciones convexas.

Question

Una función de $f : I \rightarrow \mathbb R$ en un intervalo de $I$ es convexo si $f((1-t)x+ty)\le (1-t)f(x)+tf(y), \forall x,y \in I, t \in [0,1]$

Supongamos ahora que $I$ es un intervalo abierto. Mostrar que si $f$ es convexo a continuación, para cada una de las $c \in I$ existe $m \in \mathbb R$ tales que $m(x − c) + f(c) \le f(x)$ for all $x \I$ , and if in addition $f$ es diferenciable en a $c$ $f'(c)$ es la única $m$ que funciona. En en general, debe m ser único?

(hemos demostrado previamente que las funciones convexas son continuos)

Creo que me falta el punto de la cuestión.

Seguramente, por el teorema del valor medio podemos encontrar algunos de $y\in (x,c)$ tal que $f'(y)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ $m=f'(y)$ obtenemos $m=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}, m(x-c)+f(c)=f(x)$ tal $m$ se ajusta a la desigualdad se nos pide mostrar.

También puedo ver por qué $f'(c)$ sería la única solución, o por qué íbamos a obtener una única solución de la desigualdad en todo para que la materia.

Claramente yo estoy entendiendo la pregunta, así que si alguien puede señalar dónde me gustaría que así fuese.

Gracias

Answer 1

Aquí está una idea de cómo puedes demostrarlo.

1. Tomar un punto de $a\in I$ a la izquierda de $c$ y un punto de $b\in I$ a la derecha, es decir,$a<c<b$, y dibuja dos líneas secantes: $\ell_a$ a través de $(a,f(a))$ $(c,f(c))$ $\ell_b$ a través de$(c,f(c))$$(b,f(b))$. Denotar $k_a$ $k_b$ sus laderas, respectivamente.
2. Por convexidad, la gráfica de $f$ es de $\ell_a$ $[a,c]$ y por encima de ella fuera de $[a,c]$. Del mismo modo, en el gráfico de $f$ es de $\ell_b$ $[c,b]$ y por encima de ella fuera de $[c,b]$. Se da, en particular, que $k_a\le k_b$.
3. Deje $a\to c^-$. La pendiente $k_a$ es monótona creciente (de nuevo por la convexidad) y delimitado desde arriba por $k_b$, por lo tanto, converge para algún valor $M_1$. Argumento Similar al $b\to c^+$ da $k_b\to M_2$.
4. Desde $k_a\le k_b$ obtenemos $M_1\le M_2$. Ahora cualquier $m\in[M_1,M_2]$ obras.
5. Si $f$ es diferenciable en a$c$$M_1=M_2$.

P. S. El intervalo de $[M_1,M_2]$ se llama subdifferential de $f$$c$.

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En su argumento, el punto de $y\in (x,c)$ encontrado por el valor medio teorema depende de $x$, por lo tanto $m=f'(y)$ también lo hace. Sin embargo, el valor de $m$ en la demanda debe ser el mismo para todos los $x\in I$.

Answer 2

Como smcc señaló en su comentario, podemos pensar de $y=m(x-c)+f(c)$ como una recta que pasa por el punto de $\left(c, f(c)\right)$ con pendiente $m$. Vamos a suponer que esta línea tiene una segunda intersección con la curva de $f(x)$: $\left(b, f(b)\right)$. Entonces, podemos reescribir la ecuación de la recta con el hecho de que $\displaystyle m=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}$: $$y=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}(x-c)+f(c)$$ Podemos utilizar la sustitución de $\displaystyle t=\frac{x-c}{b-c}$ para obtener la siguiente ecuación:

$$y=tf(b)+(1-t)f(c)$$

Ahora, hacemos uso de la convexo condición de que se mencionó en el OP: $$f(tb+(1-t)c)\leq tf(b)+(1-t)f(c) \text{ for }t\in[0,1] $$

A menos $f(x)$ es la ecuación de una recta, la igualdad sólo se alcanza cuando $t=0$ o $t=1$. Ergo, para todos los $x$ $b$ y $c$, $m(x-c)+f(c)>f(x)$. El único caso en que esto no ocurre es cuando la línea $y=m(x-c)+f(c)$ no tiene segunda intersección. En otras palabras, $m=f'(c)$.

En el caso de que $f(x)$ es una línea, la pregunta debería ser fácil de responder.