Usted está encargado de demostrar que $\tan(\frac x 2) = \dfrac {\sin(x)}{1+\cos(x)}$. Si suponemos que esta no es una tarea imposible (es decir, que la identidad es el correcto), ni $\tan(\frac x 2) =\pm\dfrac {\sin(x)}{1+\cos(x)}$ ni $\tan(\frac x 2) =\left|\dfrac {\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|$ son satisfactorios lugares a acabar. La primera versión, que llegó a, no es exactamente incorrecto, sino más bien incompleta, porque no dice que el signo se aplica. La segunda versión de el libro de respuestas, es incorrecta cuando se $\tan(\frac x2)<0$.
En general, $a=\pm b$ le da la misma información como $|a|=|b|$. Sin embargo, en este caso se puede determinar qué signo se aplica. Su labor esencialmente muestra que $\left|\tan(\frac x 2)\right| =\left|\dfrac {\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|$. Pero tenga en cuenta que$1+\cos(x)\geq 0$, por lo que no afecta a la señal, y $\sin(x)$ siempre tiene el mismo signo de $\tan(x/2)$. Para ver que el último punto es cierto, es suficiente para trabajar en el intervalo de $(-\pi,\pi)$ por periodicidad. Tanto en $\tan(x/2)$ $\sin(x)$ es positivo cuando se $x$$(0,\pi)$, y ambos son negativos al$x$$(-\pi,0)$.
Dicho esto, estoy de acuerdo con el laboratorio de bhattacharjee que evitar los métodos que requieren más tarde del trabajo fuera de signos es una buena idea.
Aquí es una cuestión de lado, que en la versión original de mi respuesta era todo lo que he publicado:
$\sqrt{x^2}=|x|$ es una identidad para los números reales $x$. La razón es que para un nonegative número real $a$, $\sqrt{a}$ se define para ser el único no negativo squareroot de $a$. Desde $|x|^2=x^2$, se deduce que el $|x|$ es no negativo número real cuyo cuadrado es $x^2$.
Por lo tanto,$\sqrt{\left(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}\right)^2}=\left|\dfrac{\sin x}{1-\cos x}\right|$.
