De:
La desigualdad de Sobolev: Para todos los $u\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ $$\|u\|_{L^{\frac{n}{n-1}}(\mathbb{R}^n)}\leq C \|\nabla u\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}.$$
Yo quiero probar:
Isoperimétrico la desigualdad: Para cada conjunto abierto acotado $E\subseteq\mathbb{R}^n$ con límite de $\partial E$ de la clase $C^1$, $$|E|^{\frac{n-1}{n}}\leq C|\partial E|.$$
La idea es poner a $u=\chi_E$ en la desigualdad de Sobolev, porque en tal caso es $\|u\|_{L^{\frac{n}{n-1}}(\mathbb{R}^n)}=|E|^{\frac{n-1}{n}}$ es el lado izquierdo de la desigualdad isoperimétrico. El problema es que $\chi_E$ no está en el espacio de Sobolev $W^{1,1}(\mathbb{R}^n)$.
Por lo tanto, nos regularizar a través de las circunvoluciones: definir $u_\epsilon=\chi_E\ast \rho_\epsilon$, donde $\rho_\epsilon(x)=(1/\epsilon^n)\rho(x/\epsilon)$, $\rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$, $\text{support}(\rho)\subseteq B(0,1)$, $\rho\geq0$ y $\int \rho=1$. Tenemos: $$C\|\nabla u_\epsilon\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}\geq \|u_\epsilon\|_{L^{\frac{n}{n-1}}(\mathbb{R}^n)}\stackrel{\epsilon\rightarrow0^+}{\longrightarrow} \|\chi_E\|_{L^{\frac{n}{n-1}}(\mathbb{R}^n)}=|E|^{\frac{n-1}{n}}.$$ We want to prove that $\|\nabla u_\epsilon\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}\leq |\parcial E|$ for all $\epsilon>0$. Utilizamos el siguiente resultado:
Para todos $v\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ $$\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla v|\,dx=\sup\left\{-\int_{\mathbb{R}^n}\nabla v\cdot X\,dx:\,X\in C_c^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n),\,|X(x)|=\left(\sum_{i=1}^n (X^i(x))^2\right)^{\frac12}\leq 1\right\}.$$
Basta entonces $$-\int_{\mathbb{R}^n}\nabla u_\epsilon\cdot X\,dx\leq |\partial E|$$ for all $X\in C_c^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ and $|X|=(\sum_{i=1}^n (X^i)^2)^{\frac12}\leq 1$. We have, using integration by parts, $$-\int_{\mathbb{R}^n}\nabla u_\epsilon\cdot X\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}u_\epsilon\,\text{Div}X\,dx=\int_E \text{Div}X_\epsilon\,dx=\int_{\partial E}X_\epsilon\cdot\nu\,d\sigma,$$ where $(X_\epsilon)^i=\rho_\epsilon\ast X^i$. It suffices to see that $|X_\epsilon(x)|\leq 1$ using $|X(x)|\leq 1$. Yo no era capaz de probar esto. Alguna idea?
