Diferencia entre homología y la integral de homología?

Question

Lo que es parte integral de la homología? Y ¿cómo se relaciona a la homología? No puedo encontrar una buena respuesta en cualquier lugar, así que pensé que me iba a preguntar aquí.

Answer 1

Usted puede tomar homología $H_{\bullet}(X, A)$ con coeficientes en cualquier grupo abelian $A$. Integral de homología es el caso especial donde $A = \mathbb{Z}$. "Homología" sin calificador por lo general se refiere a esto.

Answer 2

Homología implica cadenas, las fronteras, los ciclos, la derecha? Y un ciclo típico se parece a

$$ c_1 s_1 + c_2 s_2 + \ldots + c_n s_n $$ donde los coeficientes $c_i$ están en algún grupo, y el $s_i$ son simplices de algún tipo.

Si el grupo utiliza es el de los números enteros, se obtiene la integral de homología; si es otra cosa (por ejemplo, $\mathbb R$) es diferente de homología.

Por último, hay otras cosas que usted puede calcular, como "todas las formas cerradas mod todas las formas exactas en un suave múltiple", y el resultado se llama "deRham cohomology", y está estrechamente relacionado con la homología de grupos del colector, con coeficientes reales.

Una característica de la integral de homología: puede contener de torsión, es decir, grupos como $\mathbb Z / 2\mathbb Z$, mientras que la homología de grupos en el campo de los coeficientes son todos los espacios vectoriales sobre el coeficiente de campo. Este número entero de homología tiende a ser más fino invariante.