¿Qué es? $\sum_{n \ge 0} q^{n^2}$ ?

Question

¿Existe una forma relativamente sencilla de calcular la suma de las series $$\sum_{n=0}^\infty q^{n^2}, \quad |q|<1 ?$$

Answer 1

Esto se puede escribir en términos de Función theta de Jacobi , $$\vartheta_{3}(q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^{2}}.$$ En concreto, su función es $\frac{1}{2}\left(\vartheta_{3}(q)+1\right).$ No estoy seguro de lo que quieres decir con el cálculo de la serie para $q<1$ pero hay varios valores especiales conocidos, por ejemplo $\theta_3\left(e^{-\pi}\right)=\pi^{1/4}\Gamma\left(3/4\right)^{-1},$ y satisface la ecuación funcional $$\vartheta_{3}\left(e^{-\pi x}\right)\vartheta_3\left(e^{-\pi/x}\right)^{-1}=\frac{1}{\sqrt{x}}. $$

Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Theta_function#Jacobi_theta_function para más información.