$\int^\infty_0\frac{x^2e^{-x/y}}y\,dx$

Question

Me he encontrado con una expresión bastante difícil de integrar. $$\int^\infty_0\frac{x^2e^{-x/y}}y\,dx$$ ¿Hay alguna manera fácil de resolver esto? Lo he resuelto manualmente, lo que implicaba múltiples u-subs y la integración por partes, y tomó una buena cantidad de mi tiempo. Esto viene de un libro de texto de probabilidad, así que dudo que quieran que pase tanto tiempo resolviendo una integral.

La respuesta final debe ser $2y^2$ .

Answer 1

Definamos $z = x/y$ Así que $dz=dx/y$ . Por lo tanto, necesitamos calcular la siguiente integración: $$y^2 \int_0^{\infty} z^2 e^{-z} dz = y^2 \Gamma(3)=2y^2.$$

La definición del $\Gamma$ función: $$\Gamma (n) = \int_0^{\infty} z^{n-1} e^{-z} dz,$$ y $$\Gamma (n) = (n-1) \Gamma(n-1)=(n-1)!.$$

Answer 2

Desde $y$ es constante, un cambio de variables $u = x/y$ significa que basta con calcular $$y^2 \int_0^{\infty} u^2 e^{-u}\, du$$ que se maneja mediante dos aplicaciones de la integración por partes.

Answer 3

Utilizando un enfoque probabilístico denota $X\sim \mathcal{E}xp (1/y)$ Por lo tanto $$ Var(X) = \mathbb{E}X^2 - \mathbb{E}^2X = y^2, $$ por lo tanto, $$ \mathbb{E}X^2 = \int_0^{\infty}x^2\frac{1}{y}e^{-x/y}dx=Var(X)+\mathbb{E}^2X=y^2+y^2=2y^2. $$ Básicamente, sin probabilidad se puede utilizar la integración por partes denotando $u'_x = \frac{1}{y}e^{-x/y}$ y $v=x^2$ .