Demostración sencilla para $\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}) = \frac{1}{e}$

Question

Cuál es la demostración simple con medios elementales para la Secuencia de Lalescu: $$\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}) = \frac{1}{e}?$$

(Traian Lalescu, matemático rumano (1882-1929))

Answer 1

Aplicar Teorema de Stolz-Cesàro a $a_n=(n!)^{1/n}$ et $b_n=n$ entonces el límite deseado es igual a $$ \ell=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n!)^{1/n}}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n} $$ Ahora recuerda una fórmula más $$ \lim\limits_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| $$ Tomando $c_n=n!/n^n$ obtenemos $$ \ell =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{n!} =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e} $$