Definición de omega

Question

Un problema de tarea(s) de los modelos de la teoría de conjuntos:

Definir $\varphi(x) :\leftrightarrow Lim(x) \land \forall y\in x \, (Lim(y)\rightarrow y=0)$ donde $Lim(x)$ significa que $x$ es un ordinal límite. $\varphi$ dice que $x=\omega$ . Puedo demostrar que $\varphi(x)$ es una fórmula definida : Para cualquier modelo transitivo $M\subseteq V$ de $ZF$ y $x\in M$ , $\varphi(x)$ es verdadera si la relativización $\varphi(x)^M$ es verdadera (porque todos los cuantificadores utilizados en la definición de $\varphi(x)$ están acotados)

Ahora, si se le pide que demuestre que el término $\omega= \bigcap \{ x \, |\, Ind(x) \,\}$ es definida (donde $Ind(x)\leftrightarrow 0\in x\land \forall y\in x : y\cup \{y\}\in x$ ), quiero argumentar lo siguiente.

ZF demuestra que $\exists x \varphi(x)$ y $\forall x (\varphi (x) \leftrightarrow x=\omega)$ . Así que para un modelo $M$ de ZF, las relatividades $\exists x\in M \varphi(x)$ y $\forall x\in M (\varphi(x)\leftrightarrow x=\omega^M)$ debería ser cierto. La primera relativización implica $\omega\in M$ y la segunda implica $\omega^M=\omega$ .

He visto una prueba de que $\omega^M=\omega$ (para modelos transitivos M de ZF) utilizando un argumento más directo, pero ¿es esto también correcto?

Answer 1

Su prueba es esencialmente correcta. Alguien podría objetar que, donde escribiste "Así que para un modelo $M$ de ZF, las relatividades $\dots$ debería ser cierto", debería escribir las relativizaciones reales, que implican $\varphi^M$ y luego invocar el primer párrafo de su pregunta para reemplazar $\varphi^M$ con $\varphi$ . Pero esto es sólo una cuestión de cuántos detalles incluir.

Mientras la gente señale en los comentarios que es costumbre no llamar $0$ un ordinal límite, también podría señalar la terminología habitual "relativizaciones" (en lugar de "relativizaciones") y "absoluto" (en lugar de "definitivo").