Grupo simple teoría pregunta sobre teoremas de Sylow

Question

Parece que a menudo en el uso de conteo de argumentos para demostrar que un grupo de un determinado orden no puede ser simple, se muestra que el grupo debe tener al menos $n_p(p^n-1)$ elementos, donde $n_p$ es el número de Sylow p-subgrupos. Se explicó que la razón de esto es que el caso es distinto porque Sylow p-subgrupos se cruzan sólo en la identidad, que de alguna manera se sigue del Teorema de Lagrange. No puedo ver por qué esto es cierto. Puede alguien más rápido que yo dime por qué, sé que es probablemente muy obvio.

Nota: Esta no es una tarea cuestión, de modo que si la respuesta es obvia realmente me acaba de apreciar saber por qué. Gracias!

Answer 1

Supongamos que $P$ y $Q$ son Sylow p-subgrupos de primer orden p (así que no cualquier energía de p, como remarcó, entonces no es cierto en general). Tenga en cuenta que $P\cap Q$ es un subgrupo de $P$ (y $Q$). Tan por Lagrange, el % de orden $|P\cap Q|$divide p. Como p es primo, es 1 o p. Pero no puede ser p, $P$ y $Q$ son distintas. Así $|P\cap Q|=1$ y por lo tanto la intersección es trivial.

Answer 2

Eso es porque no es cierto en general. Buscar en $2$-Sylows $S_5$: que tienen intersección no trivial.

Answer 3

En algunas situaciones, para demostrar que los grupos de orden $n$ no puede ser simple, puede utilizar el recuento argumento si todos los subgrupos de Sylow han trivial intersección, y un argumento diferente de otra manera.

Por ejemplo supongamos $G$ ser un simple grupo de orden $n=144 = 16 \times 9$. El número de $n_3$ de Sylow 3-subgrupos es de 1, 4 ó 16. Si $n_3 = 1$ entonces no es normal subgrupo de Sylow y si $n_3= 4$ $G$ mapas trivial a $S_4$, por lo que debemos tener $n_3 = 16$.

Si todos los pares de Sylow 3-subgrupos han trivial intersección, que contienen en total $16 \times 8$ no de elementos de identidad, por lo que el resto de los 16 elementos deben formar una única y, por tanto, normal Sylow 2-subgrupo de $G$.

De lo contrario, dos Sylow 3-subgrupos se cruzan en un subgrupo $T$ a de orden 3. A continuación, el normalizador $N_G(T)$ $T$ $G$ contiene ambos de estos Sylow 3-subgrupos, por Sylow del teorema se tiene al menos 4 Sylow 3-subgrupos, por lo que ha pedido en menos de 36, por lo $|G:N_G(T)| \le 4$ $G$ no puede ser simple.

Answer 4

Simplemente no es verdad, Sylow p-subgrupos pueden muy bien intersectan no trivialmente, Plop dio un ejemplo de los mismos.

Bien, me parece que la realidad no se puede decir lo siguiente, ver los comentarios. Sólo estoy dejando aquí como un error no hay que hacer, así que no importa si un moderador lo elimina, ya que no es una respuesta real.

[malo]Se podría decir que el número de elementos de orden $p$ al menos $n_p(p^n-p^{n-1})+p^{n-1}$, que es el caso cuando todos los $p$-grupos se cruzan al máximo. [/mal] tenga en cuenta que, en este caso, sin embargo, la intersección de todos los Sylow $p$-subgrupos es un subgrupo normal (incluso una característica de los subgrupos, se llama $\mathbf O_p(G)$), por lo que esto no puede ocurrir en un simple grupo.