Cómo demostrar que no hay $3\times3$ matriz real $A$ tal que $A^2+I=0$ ?

Question

Pregunta: demuestre que no hay $3\times3$ matriz real $A$ tal que $A^2+I=0$ ?

Es porque: $$\det(A^2)=\det(-I)\\ \implies \det(A)\det(A)=-1\\ \implies \det(A)=-i$$ ¿Cómo continuar?

Answer 1

Todo verdadero $3 \times 3$ al ser de tamaño impar, tiene un valor propio real ya que el polinomio característico es de grado impar. Si $A^2 + I = 0$ y $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ con $\mathbf v \ne 0$ entonces $0 = (A^2 + I) \mathbf v = (\lambda^2 + 1) \mathbf v \Rightarrow \lambda^2 + 1 = 0$ . Aplicando esta noción a un valor propio real de $A$ conduce a una contradicción inmediata, ya que ningún $\lambda$ satisface $\lambda^2 + 1 = 0$ . Por lo tanto, no hay $3 \times 3$ o incluso $n \times n$ para $n$ impar, matriz $A$ satisface $A^2 + I = 0$ . QED.

Espero que esto ayude. Hasta luego,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!

Answer 2

OP, me gusta tu prueba camino mejor que ^^. Intuitivamente parece que quieres demostrar que implica existencia de solución a $X^2 + 1 = 0$ en $\Bbb{R}$ .

Tuviste: $$ \det(A^2)=\det(-I)\\ \implies \det(A)\det(A)=-1\\ $$

Lo que tienes ahora es, suponiendo que exista tal $3\times 3$ entonces existe un número real $X = \det(A)$ tal que $X^2 = -1$ . Pero sabes que eso no es cierto por haber estudiado álgebra y polinomios, así que contradicción ¡!