Licitación Problema Del Elemento

Question

Usted está haciendo una oferta en un elemento que tiene un valor desconocido de manera uniforme distribuido entre 0 y 1. Usted no sabe el verdadero valor de la elemento, pero usted sabe que si usted acaba de ganar la licitación para el elemento, el elemento aumentará su valor a 2 veces su valor original. Su oferta sólo se puede ir a través de si al menos tan grande como el valor original de el elemento. ¿Cómo usted hace una oferta para maximizar el beneficio esperado.

He aquí lo que tengo:

Deje que V es el verdadero valor del elemento

Deje que B sea la oferta que hacen

Sea f(V) representa el beneficio que usted hace V como el verdadero valor original

$$f(V) = \begin{cases} 2V - B & B \geq V\\ 0 & B< V \end{casos}$$

Donde me confundo es cuando necesito para empezar a aplicar las integrales a calcular cómo maximizar el valor esperado.

Gracias por la ayuda.

EDIT: Aquí está la solución del libro en el que estoy trabajando. No entiendo cómo se está haciendo el cálculo.

Deje que B sea la oferta. Sea S el verdadero valor del elemento. La función de densidad de S es igual a la unidad para $0 \leq S \leq 1$, y 0 en caso contrario.

Su rentabilidad es P

$$P(S) = \begin{cases} 2S - B & B \geq S\\ 0 & \text{otherwise} \end{casos}$$

El máximo post de oferta de elemento de valor es 2, por lo que debe ser no más de 2. Desea maximizar $E[P(S)]$ con respecto a la elección de B en el intervalo [0, 2]. Su beneficio esperado es:

$$\begin{aligned} E[P(S)] &= \int_{S=0}^{S=1} P(S)*1*\,\mathrm{d}S \\ &= \int_{S=0}^{S=\min(B,1)} (2S-B)\,\mathrm{d} \\ &= \left.(S^2-BS)\right|_{S=0}^{S=\min(B,1)} \\ &= \begin{cases} 0 & B\leq1\\ 1 - B & B>1 \end{casos} \end{aligned}$$

así que usted debe ofrecer la menor o igual a 1 y esperar a romperse incluso.

Answer 1

Como yo (y otros) se señaló en los comentarios, el ejercicio parece ser muy confusamente enunciado (y no en todos, como cualquier verdadero subasta o cualquier otra transacción que he escuchado), y la solución dada no se parece mucho mejor. Así que en lugar de tratar de explicar el libro de la solución, permítanme parafrasear el ejercicio en un (esperemos) un poco menos confuso manera, y luego mostrar cómo se me iba a solucionar.

Ejercicio: Usted está haciendo una oferta en un artículo que se ha desconocido valor nominal $V$ distribuidos de manera uniforme entre las $0$$1$. Usted no sabe el valor nominal del elemento, pero usted sabe que el valor del elemento de a que es el doble de su valor nominal. Usted sabe que, si usted hace una oferta más que el valor nominal de la partida, ganará el elemento y tienen que pagar su oferta; de lo contrario, usted no recibe el artículo y no tienes que pagar nada. ¿Cuánto debe usted hace una oferta para maximizar su ganancia esperada?

Solución:

Deje $V \sim U(0,1)$ ser una variable aleatoria que denota el precio nominal del elemento. La función de densidad de probabilidad de $V$ $$f(V) = \begin{cases} 1 & \text{if }0 < V < 1 \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

Si usted hace una oferta con un monto $B$, su ganancia será $$g(B,V) = \begin{cases} 2V -B & \text{if }V < B \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

Por lo tanto, su ganancia esperada de licitación $B$ es $$\begin{aligned} \mathbb E_V[g(B,V)] &= \int_{-\infty}^\infty g(B,V)\: f(V)\: \mathrm dV \\ &= \int_0^1 g(B,V)\: \mathrm dV \\ &= \int_0^{\min(1,B)} (2V-B)\: \mathrm dV \\ &= \int_0^{\min(1,B)} 2V\: \mathrm dV - \int_0^{\min(1,B)} B\: \mathrm dV \\ &= V^2 \bigg|_{V=0}^{V=\min(1,B)} - BV \bigg|_{V=0}^{V=\min(1,B)} \\ &= (\min(1,B)^2 - 0^2) - (B\min(1,B) - B\cdot0) \\ &= \min(1,B)^2 - B\min(1,B) \\ &= \begin{cases} 1-B & \text{if }B > 1 \\ 0 & \text{if }B \le 1. \end{casos} \end{aligned}$$

(Ya que dijo que tenía problemas en el seguimiento de esta parte en el libro de la solución, he incluido muchos pasos intermedios. Déjeme saber si todavía hay algo que no te siga.)

Como $1-B < 0$ siempre $B > 1$, nunca se debe de licitación de más de $1$. En su lugar, cualquier oferta de $1$ o menos resultará en una ganancia esperada de $0$, por lo que cualquier oferta es tan buena como la que no hace una oferta a todos, que es la estrategia óptima.

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En realidad, este salió más el aspecto de que el libro de la solución después de todo, aunque esperemos que un poco más claro. Lo que yo probablemente haría, si se les pide que en un examen o algo, sería comenzar por señalar que la probabilidad de ganar el elemento es igual a $1$ para cualquier oferta de $B \ge 1$. Por lo tanto, cualquier oferta $B > 1$ es claramente subóptima, ya que aumenta el costo sin cambiar la probabilidad de ganar. Que de la forma, yo la acabo de calcular $$\mathbb E[g(B)] = \int_0^1 g(B,V)\: \mathrm dV = \int_0^B (2V-B)\: \mathrm dV = B^2 - B^2 = 0$$ para todos los $B \le 1$. (O quizá me tenga en cuenta que el integrando $2V-B$ tiene simetría impar alrededor del punto medio de la $V = B/2$ del intervalo de integración, por lo que la integral tiene que ser cero, por consideraciones de simetría).

Answer 2

Edit: Este sustituye a una anterior solución que había un error importante.

Se exploran las consecuencias de la ofrenda $b$ donde $0 \le b\le 1$. Vamos variable aleatoria $W$ denotar el valor del elemento, dado que la oferta fue aceptada. Para $0 \le w \le b$ hemos $$Pr(W \le w)=Pr(V\le w|V\le b)=\frac{\Pr(V \le w)}{\Pr(V \le b)}=\frac{w}{b}.$$ Por lo tanto $W$ tiene una distribución uniforme en $[0,b]$, y por lo tanto tiene la expectativa $b/2$. El beneficio es $2W-b$. Esto ha expectativa $2E(W)-b$, $0$ lo $b$ $[0,1]$ es elegido por la oferta.

Ofreciendo $\lt 0$ trivialmente también da la expectativa de ganancia igual a $0$. Si ofrecemos $b\gt 1$, la ganancia es $2V-b$, que tiene una media $1-b \lt 0$.