Consejos para la comprensión de la unidad de círculo

Question

Estoy teniendo problemas para comprender algunos de los conceptos sobre el círculo unidad. Creo que tengo los conocimientos básicos, pero no tengo un sentido intuitivo de lo que está pasando. Es memorizar la radian las mediciones y sus correspondientes puntos de la única manera de dominar este? ¿Cuáles son algunas maneras en que uno puede memorizar el círculo unidad?

Editar una aclaración: creo que mi problema se presenta por el uso de $\pi$ en lugar de grados. Empezamos la graficación de hoy y el uso de números en la recta numérica fueron de nuevo se refiere a la $\pi$. ¿Por qué es esto?

Answer 1

Es probablemente útil para memorizar una tabla como esta: \begin{align} \theta & & \sin\theta & & \cos \theta \\ 0 & & \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 & & \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 \\ \frac{\pi}{6} & & \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} & & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\pi}{4} & & \frac{\sqrt{2}}{2} & & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\pi}{3} & & \frac{\sqrt{3}}{2} & & \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{\pi}{2} & & \frac{\sqrt{4}}{2} = 0 & & \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 \end{align}

Answer 2

Una forma de recordar es que en un círculo unitario, como se recorre el perímetro, la distancia a cubrir a lo largo del perímetro, es exactamente igual que el ángulo cubierto.

Así que si usted comienza en un punto y cubrir todo el círculo, el ángulo de cobertura es en todo el perímetro: $2 \pi$. Si sólo cubren una cuarta parte, entonces el ángulo que usted tiene cubiertos si $\dfrac{\pi}{2}$.

Espero que ayude.

Answer 3

Se puede simplificar la tarea de comprender la unidad de círculo a la tarea de comprender dos triángulos rectángulos: el $30$-$60$-$90^\circ$ el triángulo y el $45^\circ$ triángulo.

Primera nota de que $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$$\frac{\pi}{6} = 30^\circ$. A continuación, dibuje un $30^\circ$ ángulo de un triángulo rectángulo y etiqueta el opuesto lado de la $1$, el adyacentes lado $\sqrt 3$, y la hipotenusa $2$. Desde $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$$cos(x) = \frac{adj}{hyp}$,$cos(\frac{\pi}{6}) = \sqrt 3/2$. Del mismo modo podemos descubrir los valores para $sin(\frac{\pi}{6})$, $cos(\frac{\pi}{3})$ y $sin(\frac{\pi}{3})$.

El $45^\circ$ triángulo puede ser usado para encontrar los valores de $x = \frac{\pi}{4}$. Hay que recordar que el $45^\circ$ triángulo, $opposite = adjacent = 1$$hypotenuse = \sqrt 2$.

Ahora esto sólo aclara el círculo unidad en el primer cuadrante, pero a menudo se puede llenar todo el círculo unidad una vez que se conocen estos valores y utilizar ciertas propiedades como $cos(x) = cos(-x)$$sin(-x) = -sin(x)$.

Esta es la forma en que me tutor a mis estudiantes en el círculo unidad y parecen apreciar ser capaz de "probar" que $cos(\frac{11\pi}{6}) = \sqrt 3/2$.

Answer 4

Esto no es realmente una respuesta a la pregunta que usted me hizo, pero es una respuesta a una pregunta que usted podría tener preguntó: "¿Qué de bueno es el círculo unitario? Lo que sigue es una pequeña revisión de algunos comentarios que he publicado dos o tres veces en los últimos años en un listserv (principalmente de Estados Unidos de la escuela secundaria) AP-cálculo de los maestros.

Por "unidad de círculo", me refiero a un cierto marco conceptual para muchos importante trig hechos y propiedades, NO es un gran círculo dibujado en una hoja de papel que tiene ángulos de la etiqueta con el grado de las medidas de 30, 45, 60, 90, 120, 150, etc. (y/o con la correspondiente radian medidas), junto con los valores exactos para el seno y coseno de estos ángulos.

He encontrado que una adecuada comprensión de la unidad de círculo da un gran ahorro en la memorización en el que se permite de manera eficiente catálogo y la verificación cruzada de un gran número de hechos pertinentes acerca de las funciones trigonométricas. Todo lo que tienes que saber es que el coseno va con el $x$-coordinar y sine va con el $y$-coordinar, y para ello se recuerda que se alfabético: *c*osine va con $x$ e *s*ine va con $y$.

El uso de esta comprensión de la unidad de círculo, podemos obtener los valores de seno y coseno en múltiplos de 90 grados, ya que estos corresponden a los puntos en el círculo unitario que están en el positivo $x$-eje, la negativa $x$-eje, la positiva $y$-eje, o la negativa a $y$-eje, y para cada una de estas posibilidades sabemos lo que tanto las coordenadas del punto será.

El uso de esta comprensión de la unidad de círculo, sabemos que $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$, de la que tanta cosa que surge. (Esencialmente todo si trabajas lo suficientemente duro. Ver [1] [2].)

[1] Andy Roy Magid, "identidades Trigonométricas", Mathematics Magazine 47 #4 (septiembre de 1974), 226-227.

[2] David Earl Dobbs, "Demostrando trig. identidades freshpersons", las Matemáticas y la Enseñanza de informática 14 #1 (Invierno de 1980), 39-42.

El uso de esta comprensión de la unidad de círculo, podemos obtener las señales de seno y coseno en cada uno de los 4 cuadrantes.

El uso de esta comprensión de la unidad de círculo, podemos deducir que $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. [En la práctica, cuando se conoce a cada uno de seno y coseno es una función par o impar función y usted sabe acerca de la gráfica de propiedades de reflexión para pares e impares funciones, es fácil de averiguar que es lo que observando cómo el $x$ - $y$- de las coordenadas de $-45$ grados comparar con el $x$ - $y$- de las coordenadas de 45 grados.]

El uso de esta comprensión de la unidad de círculo, sabemos que, cuando se da un intervalo, si el seno es creciente en dicho intervalo, decreciente en dicho intervalo, o ninguno. También sabemos que este para el coseno. [De hecho, ya que justo a la derecha de $0$ sinusoidal es creciente y coseno es decreciente y ambos son positivos, se deduce que el coseno es la que debe usar un signo negativo para la hora de escribir sus derivados. Eso suponiendo que usted recuerde que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es sinusoidal, modulo uno de ellos que requieren de un signo negativo. No me lo esperaba (ni ver) este de los estudiantes, sin embargo.]

Mediante la consideración de un derecho triángulo con un vértice en el origen, un vértice en el $x$-eje entre el$x=0$$x=1$, y un vértice en $x^2 + y^2 = 1$ en el primer cuadrante, se puede ver que el seno y el coseno son opp/hyp y adj/hyp, respectivamente.

Usted puede incluso obtener el seno y el coseno de 30 grados, 45 grados y 60 grados si usted sabe que $\frac{1}{2}$ se muestra como un valor de al menos uno de ellos. Vamos a considerar primero el caso en que el $y$coordenadas de un primer cuadrante punto en el círculo unitario es igual a $\frac{1}{2}$. A continuación, llegamos $x^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1$, lo que nos da $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Desde $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$ (plaza de los dos lados, o que simplemente tenga en cuenta que $\sqrt{3} > 1$), debe ser que estos son los valores de un punto de $(x,y)$ sobre el círculo unitario tal que $x > y$, por lo que este tiene que ser de 30 grados (dado que conocemos $\frac{1}{2}$ puede ser el valor del seno y/o coseno sólo para el primer cuadrante ángulos entre aquellos con grado de medida de 30, 45, 60). Desde $x = \frac{1}{2}$ $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ también satisface $x^2 + y^2 = 1$ (no de trabajo; basta con cambiar el orden de adición en el caso anterior), y aquí $x < y$, estos deben ser los valores de 60 grados. (O reflejar nuestro anterior $x > y$ situación acerca de la línea de $y=x$, lo que equivale a un 90 grados de rotación en sentido antihorario, seguida por una reflexión a través del eje vertical). Como para los valores de 45 grados, es evidente que esto es al $x = y$, que se puede fácilmente sustituir en $x^2 + y^2 = 1$ y consigue $x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. No, yo no esperamos que los estudiantes, ni tampoco lo hizo ninguno de ellos lo hace a mi conocimiento. Solo estoy mostrando lo mucho que se puede obtener de la unidad de círculo con un poco de ingenio y un par de trozos de forma incompleta recordado resultados (como una de las salidas de ser $\frac{1}{2}$).

Answer 5

La cosa fresca sobre radianes es que se relacionan medida lineal a medida angular. Así que si vamos a $x$ radianes alrededor de un círculo de radio de $r$ unidades, entonces hemos viajado $xr$ unidades de longitud. Esto viene de la fórmula $C = 2\pi r$. Se puede ver que $2\pi$ es la proporción de la circunferencia de un círculo entero a su radio y que esta fórmula puede ser visto como la creación de una función que se asigna a los radios de la circunferencia. Así que si vamos a mitad de camino alrededor del círculo, entonces hemos viajado sólo la mitad de la distancia y debemos tener $C/2 = \frac{2\pi}{2}r = \pi r$. De nuevo, vemos que $\pi$ radianes puede ser visto como una función de mapeo de los radios a las longitudes de la mitad de los círculos. Quieres un cuarto de círculo? Bien, $C/4 = \frac{2\pi}{4}r = \frac{\pi}{2}r$ y vemos que para averiguar la longitud de un cuarto de arco circular, uno simplemente se multiplica por $\frac{\pi}{2}$.

Así que me olvidaría de grados y pensar en términos de qué parte del círculo un ángulo de barre. Tendrás algún número real entre el $0$ y $1$ ($1$, $\frac{1}{2}$, y $\frac{1}{4}$ en los casos que hemos visto). Multiplique ese número por $2\pi$ y ese es el número de radianes el ángulo.

EDITAR:

Y tenga en cuenta que mi restricción de que el número se entre $0$ $1$ es arbitrario. ¿Qué acerca de los viajes alrededor de un círculo dos veces? Luego de que se haya ido $2C = 2 \cdot 2\pi r = 4\pi r$ veces alrededor del círculo y viajó alrededor de un ángulo de $4\pi$ radianes. Nada es diferente.