Cómo probar que $\operatorname{lcm}\{1,\ldots,n\}\geq (\sqrt{n})^{\pi(n)}$?

Question

Deje $\operatorname{LCM}[n]:=\operatorname{lcm}\{1,\ldots,n\}$. Es fácil comprobar la $\operatorname{LCM}[n]\geq 2^{\pi(n)}$ donde $\pi(n)$ cuenta el número de los distintos números primos hasta el $n$.

Pero, ¿cómo puedo probar que el obligado a $\operatorname{LCM}[n]\geq (\sqrt{n})^{\pi(n)}$?

Para el atado $2^{\pi(n)}$, he utilizado la identidad:

$$\operatorname{LCM}[n]=\!\!\!\prod_{p\in\mathbb{P},p\leq n} p ^{\lfloor \log_p(n) \rfloor}$$

Pero esto no funciona con el límite inferior de $\operatorname{LCM}[n]\geq (\sqrt{n})^{\pi(n)}$. Alguien puede darme una pista?

Answer 1

Exactamente la misma identidad de las obras. Usted puede hacerlo mucho mejor que $p^{\lfloor \log_p(n) \rfloor} \ge 2$, y muestran que la $p^{\lfloor \log_p(n) \rfloor} > \sqrt{n}$. Esta es la idea: $p^{\lfloor \log_p(n) \rfloor}$ es sólo el más grande poder de $p$ que se ajusta a $[1,n]$.

Si $p$ está en el rango de $(n^{1/2},n]$ no hay nada que demostrar. Pero si $p$$(n^{1/3},n^{1/2}]$$p^2 \le n$$p^2 > \sqrt{n}$. Si usted piensa acerca de ello, no importa lo primer que empezar, hay algún poder de $p$ que es mayor que $\sqrt{n}$.

Answer 2

No sé por qué no puedo comentar aquí, pero de todos modos... he Aquí una sugerencia:

Desde su obligación, consigue $LCM[n]\ge\prod_{p\in\mathbb P, p\le n}p$.

Por lo tanto, suficiente para mostrar que la media geométrica de $\{p\in\mathbb P,p\le n\}$ es mayor que $\sqrt n$. El emparejamiento de los números primos, la más pequeña, la más grande de etc, el producto de cada par es mayor que $n$ (por el postulado de Bertrand) así que estás hecho?

Answer 3

Este es un poco diferente, y es de esperar más simple, tomar en esta respuesta.

Tenemos que para $x\ge1$, $\lfloor x\rfloor\gt\frac x2$. Por lo tanto, para $n\gt1$, $n$ tiene al menos un factor primo, por lo que

$$ \begin{align} \mathrm{lcm}(1,2,3,\dots,n) &=\prod_{\substack{p\le n\\p\text{ prime}}}p^{\left\lfloor\log(n)/\log(p)\right\rfloor}\\ &\gt\prod_{\substack{p\le n\\p\text{ prime}}}p^{\frac12\log(n)/\log(p)}\\ &=\prod_{\substack{p\le n\\p\text{ prime}}}n^{1/2}\\ &=\left(n^{1/2}\right)^{\pi(n)} \end{align} $$