Tengo el siguiente problema... Estamos dada una secuencia de enteros $n_k\to+\infty$$k\to\infty$. A continuación, definimos $$A:=\{x\in[0,2\pi]\,\colon\,\lim_{k\to\infty}\sin(n_kx) \text{ exists}\}.$$
Tengo que probar ahora que $\operatorname{meas}(A)=0$, cuando la medida es lo habitual en la medida de Lebesgue en la recta real.
He probado la siguiente relación que asumo que puede ser útil para la secuela, es decir, para cualquier medibles $B\subseteq A$, ajuste de $$f(x):=\lim_{k\to\infty}\sin(n_kx),$$ it follows $$\int_B 2(f(x))^2\mathrm dx=\lim_{k\to\infty}\int_B1-\cos(n_kx)\mathrm dx=\operatorname{meas}(B).$$ Then $Un$ is measurable (I have proved it), so I want to apply the previous result: my plan is to show that $f(x)$ must be almost everywhere $0$, pero no puedo ver un puro argumento.
Otra de las estrategias que he pensado sería la razón por la contradicción y ver lo que sucede si $A$ ha estrictamente positivo de la medida. En cualquier caso, de esta manera parece bueno para mí, porque el resultado en este caso implicaría que $f$ debe ser igual a $0$ en casi todas partes en $A$, en contraste con la anterior de manera que utiliza esta conclusión como el punto de partida de la asunción.
En cualquier caso, he pasado bastante tiempo en esto, sin éxito, por eso te pido que me ayudes...
gracias por su paciencia
-Guido-
