¿por qué son estos dos conjuntos iguales?

Question

Estoy en el medio de una prueba de un determinado lexema

y se afirma con ninguna de las explicaciones que :

$$ \{ \omega \in \Omega \;|\; \sup f_n(\omega) > x \} = \cup_{n\geq1} \{ \omega \in \Omega \;|\; f_n(\omega) > x \}$$

$(f_n)_{n\geq1}$ representa una de las secuencias de las funciones que los mapas de $\Omega$ a $\mathbb{R} \cup\{+\infty , -\infty\}$

$x$ es un número real arbitrario

Traté de pensar acerca de ello, pero estoy atascado algo me parece mal, pero no puedo averiguar qué.

tal vez la forma en que los conjuntos están escritas ?

Answer 1

Si $\sup_n f_n(\omega)>x,$ eso significa que existe una $m$ tal que $f_m(\omega)>x.$ Para el supremum de un conjunto (en este caso, $\{f_n(\omega)\}_n$) para ser estrictamente mayor que un número, es suficiente para cualquier elemento del conjunto a ser mayor.

Por otro lado, si $\omega\in\bigcup_n\{\omega\colon f_n(\omega)>x\},$ eso significa que, de nuevo, hay algunos $m$ tal que $f_m(\omega)>x.$ Que es lo que significa estar en un sindicato; estás en uno de los conjuntos.

Piense acerca de cómo sería diferente si en lugar del predicado en el conjunto de se $f_n(\omega) < x.$, a Continuación, en el lado derecho, tenemos que tomar las intersecciones en lugar de los sindicatos. ¿Por qué?