Hace una simetría necesariamente salir de la acción invariante?

Question

Una simetría asigna una configuración con estacionaria acción a otra configuración con estacionaria de acción. Sin embargo, no necesariamente preservar el valor de la acción exactamente? Parece que debería ser posible para una simetría de mapa de un estado con la acción $S$ a un estado con la acción $S + k$ donde $k$ es una constante, por ejemplo; si esto se hace, a continuación, configuración de los equipos fijos de acción siempre será asignado a una configuración de los equipos fijos de acción. Sin embargo, no fue capaz de construir cualquiera de los ejemplos de este tipo. Todos los ejemplos de la física de las simetrías que sé de salir de la acción invariante.

Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

1. Primero de todo, recordar la noción de un (off-shell) cuasi-simetría. Esto significa que la acción $S[\phi]$ cambios por un límite integral en virtud de la transformación de los campos de $\phi$ y el espacio-tiempo del punto de $x$, cf. por ejemplo, este y este Phys.SE postes.

2. Ya que la acción $S=\int_R \!d^nx~{\cal L}$ es una extensa variable, es claro que la OP constante de $k$ en una transformación de la forma $$\tag{1}S~\longrightarrow~S^{\prime} ~=~ S+k$$ es también una extensa variable, por ejemplo, depende del espacio-tiempo de la región de $R$. De modo que la constante de $k$ no es sólo un número. Depende de varios parámetros. Para hacer sentido de OP de la propuesta, se asume que la constante de $k$ no depende de la dinámica activa masiva de datos, pero sólo en los datos del límite fijado por las condiciones de contorno.

3. Una pregunta importante es si la transformación (1) puede ser realizado en los campos de $\phi$ y el espacio-tiempo del punto de $x$.

4. Si la transformación (1) se realiza, se conjetura que es siempre como un cuasi-simetría.

5. Ejemplo: Considere un punto libre de partículas $$\tag{2}S~=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt~L, \qquad L~=~\frac{m}{2}\dot{q}^2,$$ con las condiciones de contorno de Dirichlet $$\tag{3} q(t_i)~=~q_i\quad\text{and}\quad q(t_f)~=~q_f. $$ Ahora considere la posibilidad de la transformación $$\tag{4} q(t)~\longrightarrow~ q^{\prime}(t) ~=~ q(t) + \varepsilon t. $$ La transformación (4) es un cuasi-simetría de la Lagrangiana $$\etiqueta{5} L~\longrightarrow~ L^{\prime} ~=~L + \frac{dF}{dt}, \qquad F~=~\varepsilon mq +\frac{\varepsilon^2m}{2}t,$$ y una cuasi-simetría de la acción $$\tag{6}S~\longrightarrow~S^{\prime} ~=~ S+k,$$ $$\tag{7}k~=~F(t_f)-F(t_i)~=~\varepsilon m(q_f-q_i) +\frac{\varepsilon^2m}{2}(t_f-t_i).$$ La correspondiente conservado Noether cargoes $$\tag{8} Q~=~m\dot{q}t-mq. $$