deje $(X,|| || )$ ser una norma espacio lineal. Y $M$ ser un subespacio cerrado de la norma espacio lineal .¿existe un subespacio cerrado $N$ tal que $X=M \oplus N $ . Sé un subespacio $N$ existen .pero no estoy conforme sobre ese $N$ es cerrado o no .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En resumen, la respuesta es no en general. Un conocido contraejemplo es dado por $c_0$$\ell^\infty$. Esto fue demostrado por Phillips en 1940. Hay una larga historia detrás, conocido como el subespacio complementario problema para un espacio de Banach $X$.
En 1971, Lindenstrauss y Tzafriri demostrado que, dado un espacio de Banach $X$, cada subespacio cerrado es topológicamente complementa en $X$ si y sólo si $X$ es isomorfo a un espacio de Hilbert.
Aquí están algunos detalles, para comenzar con una aclaración de la noción de complemento en una normativa espacio vectorial, y, en particular, en un espacio de Banach.
1) Si dos subespacios $M,N$, no necesariamente cerrado, satisfacer $X=M\oplus N$, podemos decir que el $M$ es algebraicamente complementado por $N$$X$. Una fuerte noción es la de topológicamente complementa. Pero éstos coinciden en espacios de Banach para los pares de subespacios cerrados.
Si $X=M\oplus N$ algebraicamente, con $M,N$ subespacios de $X$, tenemos un isomorfismo $T:M\times N\longrightarrow X$$T(x,y)=x+y$. Poner, decir, la norma $\|(x,y)\|:=\|x\|+\|y\|$$M\times N$, y se denota por a $P:x+y\longmapsto x$ la proyección en $M$ paralelo a $N$, los siguientes son equivalentes:
- $T$ es un homeomorphism
- tanto en $M$ $N$ están cerrados y $P$ está acotada.
En este caso, decimos que la $M$ es topológicamente complementado por $N$$X$.
Si $X$ es un espacio de Banach, y si $M,N$ son dos subespacios cerrados de $X$, el cierre de la gráfica teorema se obtiene: $X=M\oplus N$ algebraica si y sólo si topológicamente.
2) $X$ es un espacio de Banach, que se preguntan si cada subespacio cerrado es topológicamente complementa. Esto por supuesto es cierto cuando se $X$ es un espacio de Hilbert como basta con retirar $N=M^\perp$. Por lo tanto es verdadero si $X$ es isomorfo a un espacio de Hilbert. También es cierto que en una normativa espacio vectorial con la suposición de que $M$ tiene dimensión finita, finita codimension.
Mucho más difícil resultado que apareció en 1971 después de una larga historia de resultados parciales es debido a Lindenstrauss y Tzafriri: cada infinito-dimensional espacio de Banach que no es isomorfo a un espacio de Hilbert contiene un subespacio cerrado que no es topológicamente complementa.
