¿Cuáles son las dimensiones de la caja rectangular más barata posible con un volumen de 504 cm3 si el material del fondo cuesta \$20/cm2, material for the sides costs \$ 6/cm2, y el material para la parte superior cuesta 8$/cm2 ?
No estoy seguro de cómo utilizar la información que me dieron para resolver esta pregunta. Sé que debo usar más piezas de 6 dólares pero no sé cuántas de cada una debo usar sin hacer conjeturas y comprobaciones.
Por la longitud $l$ cm, anchura $w$ cm y altura $h$ cm, los costes de material $c$ en dólares son
$c= 20lw+ 6(2lh+2wh)+ 8lw$ $=28lw + 12h(l+w)$
Tenga en cuenta que el volumen ajustado de la caja significa que $h=504/lw$ Así que
$c=28lw + 6048(l+w)/lw$ $=28lw+6048/l + 6048/w$ .
Entonces las derivadas parciales sobre $l$ y $w$ son
$\frac{\delta c}{\delta l} = 28w-6048/l^2 $ y
$\frac{\delta c}{\delta w} = 28l-6048/w^2 $
Resolviendo la derivada cero obtenemos $l^2w = 216$ y $w^2l= 216 $
y por lo tanto $l=w$ en el mínimo y podemos resolver las dimensiones.
Respuesta inicial
Es relativamente obvio que la parte superior y la inferior deben ser cuadradas, ya que buscamos obtener un perímetro mínimo para el área.
Así que dado que $s$ es la longitud del lado de la base cuadrada, la altura $h(s)=504/s^2$ y el coste $c(s) = 20s^2+ 6\cdot 4sh(s)+ 8s^2$ $= 28s^2 + 12096/s$ .
Entonces $\frac{dc}{ds} = 56s-12096/s^2$ y podemos resolver el mínimo en $\frac{dc}{ds} =0$ .
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